“极限”的理解与误解

“极限”的理解与误解

极限：(1)，最大的限度。所谓“极”就是“底端”和“顶端”；“最小”与“最大”之意。“限”是指“限界”。虽至无穷，但却有一个限界，这就是极限。 (2)，自变量的值，无限趋近但不等于某规定数值时,或正向增大趋近于，或“倒向”缩小趋近于，到一定程度时,与数学函数的数“值 差”， 为“无穷小”的数。这是某数的左右两旁的无限向某数趋近的“极限”。这种变量“趋近”的极限，一般理为“无穷小量”。

在高等数学中，极限是一个重要的概念。

在“微积分”学说中，‘无限细分’就是微分；微分至小为极限，就是“无穷小量”。‘无限求和’就是积分；积分是无限多的数项，相加之总和；或“无穷小量”与“无限大”的数，相乘之积。 无限的至其极端，就是极限。无限细分的极限，是微分其量，为“无穷小量”；无限增多之数的极限，是“无穷大”；这种思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。

高等数学的“极限”概念，是从初等函数的“极值”引伸过来的。这个“极限”引入，是很有必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量ε。 就是说，除的数不是零，所以有意义，同时ε可以取任意小，只要满足在δ区间，都小于ε，我们就说他的极限就是这个数。虽然这个概念给出的比较取巧，但是，它的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。因此这个概念是成功。

极限可分为数列极限和函数极限或数的集合域的极限，分别定义如下：
数列极限：
定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式　|Xn - a|<ε 都成立，那么就成常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a 。记为lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）
数列极限的性质：
1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的；
2.改变数列的有限项，不改变数列的极限。
几个常用数列的极限：
an=c 常数列， 极限为C；
an=1/n 分数数列，（n→0)极限为0；（n→∞)极限为无穷小(1/∞)；
an=x^n 绝对值x小于1 ，极限为无穷小(1/∞)；当x等于0时，极限为0；当x≠0、n=0时，它的极限为1；

在这里，传统的常用数极限，只讲“an=1/n （n→∞)的极限为0；这是一种误解。而“an=1/n （n→∞)的极限应为无穷小“1/∞”。

当an=x^n 绝对值x小于1 ，极限为0；这也是一种误解。当an=x^n 绝对值x小于1 ，极限也应为无穷小“1/∞” 。

分数数列“an=1/n （n→∞)的极限为1/∞“无穷小”；小数数列an=x^n 绝对值x小于1 ，极限也为1/∞“无穷小”；当x≠0、n=0时，它的极限为1；

这几种情况下的极限，都不是0。若为0，则意味着，其分数或小数都是为0，“0”已不是“分数”或“小数”。“0”极限，就是“没有”极限、即为0。这就已发生“质变”；全完否定了“极限”的“数与量”的存在。
函数极限的专业定义:
设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式“0<|x-x。|<δ” 时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
|f(x)-A|<ε
那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。

函数极限的通俗定义：
1、设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义，如果当x→+∞时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称A为当x趋于+∞时函数f(x)的极限。记作lim f(x)＝A ，x→+∞。
2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义，当x无限趋近a时（记作x→a），函数值无限接近一个确定的常数A，则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ，x→a。

函数的左右极限：
1：如果当x从点x=x(0)的左侧（即x＜x(0）无限趋近于x(0)时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x(0)处的左极限，记作x→x(0)-limf(x)=a.
2:如果当x从点x=x(0)右侧（即x>x(0)无限趋近于点x(0)时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x(0)处的右极限，记作x→x(0)+limf(x)=a ；
注：若一个函数在x（0）上的左右极限不同，则此函数在x（0）上不存在极限。

在这里，一个函数在x（0）上的左右极限，应是一种误解；是x→x(0)的两种情况：(趋向近于0，递减趋势)与(趋于0，递减到终端为0)；混淆为都等于0。此处以0为界，左右两边只是正数与负数的区别，趋向的极限(正、负)不同，应不存在极限。因此，应将所有“一个函数在x（0）上x→x(0)”；通通改为 “一个函数在x（1）上x→x(1)” ；才能与“函数极限的性质”相一致，而不造成“悖论”。尽管，人们已习惯于那种“强词夺理”的误解；但如将这种“误解”，强加于“函数极限的性质”，将造成更多的误解。例如出现：

x→x(0)-limf(x)=a=0； x→x(0)+limf(x)=a=0；极限为0 ； lim(1+1/x)^x =e；即当 x→∞时。若x→0，成为lim(1+1/x)^x =1。

函数极限的性质：
极限的运算法则（或称有关公式）：
lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)
lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)
lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)
lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等于0 )
lim(f(x))^n=(limf(x))^n
以上limf(x) limg(x)都存在时才成立
lim(1+1/x)^x =e； 即当 x→∞时。

无穷大与无穷小：
一个数列从1之下开始，（极限）无限趋近于0，但不等于0时，它就是一个（极限单位量）为“无穷小量”的数列。
无穷大数列和无穷小数列关系，是互为“倒数”关系。
两个重要极限：
1、 lim sin(x)／x ＝1 ，x→(1/∞)；趋向的“极限”，为无穷小；而不是趋向的极限为0；即(x→0)；不应将“无穷小量”误解为“等于0”；极限是有界限的，趋向近0与趋于0，是有区别的。否则将背违“无穷大数列和无穷小数列成倒数”。“0”与(∞)无穷大，不是倒数关系；而无穷小(1/∞)与无穷大(∞/1)才是倒数关系。

2、lim （1 + 1／x）^x ＝e ，x→∞ （e≈2.7182818...，无理数）

首先举一列，介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6×2的9次方边形，利用不等式An+1<A<An+2[(An+1)-An](n=1，2，3....)得到圆周率=3927/1250约等于3.1416；
再举个例子说明一下
0.999999……＝1？
（以下一段不作证明，只助理解——原因：小数的加法的第一步就是对齐数位，即要知道具体哪一位加哪一位才可操作，下文中0.33333……的加法使用小数点与小数点对齐并不可以保证以上标准，所以对于无限小数并不能做加法。既然不可做加法，就无乘法可言了。）
谁都知道1/3＝0.333333……+(1/∞)，而两边同时乘以3就得到1＝0.999999……+(1/∞)，可就是看着别扭，因为左边是一个“有限”的数，右边是“无限”的数。其实这左右两边之间是隐含相差一个“无穷小量”的差值。
10×0.999999…… +(1/∞)=10×1-(1/∞］=10-(1/∞)；
∴ 0.999999…… ≠ 1 ；不然只是，0.999999……≈0.999999；这才是确切理解“无穷小量”与“零”的区别。

极限，是一个复杂的动态概念，即是变量趋势的界限概念；又是变量的变化程度概念；还是变化可微分的“单位量”比较的比率概念。三种区别，代表三种不同定义、含意、作用。

变量趋势的界限，是指数列集合的极值：最大值与最小值。

变量的变化程度，是指增量的大小，其增量细分的极限，为“无穷小量”。

变量的变化速度，是指原速度与加速度的比较，其极限是瞬间的加速度。

变量的变化速率，是指两个变速的比率；其极限为dx/dy。

这些，在“数论”、“数分”中，涉及到以上几种情况的“极限”时，决不搞混淆；否则，极易作出错误的结论，造成“悖谬”。