线性代数极简入门

引言

本文试图用一万字左右的篇幅直观地讲解线性代数的核心知识。Markdown编写，建议开启目录功能。安利 Smart TOC .

作者不是数学专业，学习线性代数是为了用，所以不纠结于细节或高深的证明。本文希望能通过给小白读者讲清楚线性代数的核心概念，达到对近期所学知识的一个系统总结。欢迎拍砖。

提醒：本文大量引用 马同学 的线代内容及图片，只是尽量把知识压缩到一篇文章中，以便理清主线和掌握核心内容。想靠本文学好线代是不可能的，吐血建议购买马同学的付费课程。

复习：向量

回忆高中数学

向量 ，就是有方向的量。

如上的二维向量在代数上可以用2个维度上的分量表示： \left( m, n \right) 。同理，找 n 个数写到括号里，就构成了一个 n 维向量。

三维以内的向量可以用几何表示，可以直观地理解。现实中大部分问题其实是更高维度的向量，它们无法用几何表示，但性质是相同的。一言以蔽之，几何是低维的代数，代数是高维的几何。

向量加法 ：利用三角形法则

在代数上表示，就是分量分别相加。这个性质通过简单的平移可以看出。

向量点积 ：

点积的几何意义是投影后的模长乘积。它其实也能用矩阵 解释 。

向量的长度 ：

向量的夹角 ：

来点大学的

向量空间：

我们可能也发现了，向量是个有方向有长度的箭头，那么它肯定存在于某个空间中。直观来说，二维向量就在二维空间中，三维向量就在三维空间中……

而其实我们研究的线性代数，它对向量空间的定义突出一个“线性”：

向量空间 V 是一个集合，其元素是向量。该集合对于其元素向量的加法及数乘两种运算封闭。即：

• 若 \textbf{a} \in V, \textbf{b} \in V, 则 \textbf{a} + \textbf{b} \in V
• 若 \textbf{a} \in V, k \in R, 则 k\textbf{a} \in V

你可能不知道，向量空间又叫线性空间。

向量空间并不一定是 R^{n} ，也可以是它们的子集。下面几个空间也是向量空间：

向量组： 就是 V 中的一组向量。显然，它们是同维度的。

向量组合： 对 V 中的一组向量 v_{1},v_{2},...v_{m} ，指定一组实数 k_{1}, k_{2}, ... k_{m} , 那么向量 b = k_{1}a_{1} + k_{2}a_{2} + ... + k_{m}a_{m} 称为该向量组的线性组合，或者说 b 能被这组向量线性表示。

举个例子：对于 RGB 这三个向量：

那么黄色就是 RGB 的线性组合：

线性相关与线性无关： 向量组中的任一向量都不能被其它向量线性表示，就说向量组线性无关；否则就是线性相关。

再举个例子： \{R, G, B\} 是线性无关的， \{R, G, B, 黄\} 是线性相关的。

张成空间： 一个向量组 \{v_{1},v_{2},...v_{m}\} 的所有线性组合构成的集合 V （显然是个向量空间），称为该向量组的张成空间，记为 span(v_{1},v_{2},...v_{m}) . 或称该向量组张成 V 。

向量空间的基 ：如果一个线性无关的向量组 A = \{ a_{1}, a_{2},..., a_{n}\} 张成向量空间 V ，则称向量组 A 是空间 V 的一个基。

基有这么个性质： V 中的任何向量 x 都可被唯一地表示为：

其中 （k_{1}, k_{2}, ... k_{r}) 就相当于 x 在这组基中的坐标。如果 A 是标准基（或自然基），其实就变成直角坐标系了。

向量空间的维度 ：就是一组基的向量个数。

矩阵：从线性方程组说起

矩阵的引入

矩阵是英国数学家阿瑟·凯莱（1821－1895）为了研究线性方程组而发明的。他发现，对于这样的线性方程组：

未知数的名字 x 、 y 根本不重要，可以直接把系数提出来，用一种阵列（称为矩阵）的方式表示，就称为系数矩阵：

如果把等号右边的数字也提出来，就叫做增广矩阵：

要解方程组，其实就是用高斯消元法，逐次迭代，将方程组化为简单形式：

如果用 r_{1} 表示第一行， r_{2} 表示第二行； r_{1}^{'} 表示新的第一行， r_{2}^{'} 表示新的第二行，那么整个过程如下：

那么怎么能简洁地表示高斯消元法呢？前面我们已经用增广矩阵来表示过方程组了，上面的第一步可以表示成：

中间的这个变换过程：

r_{1}^{'} = 1r_{1} + 0r_{2}\\ r_{2}^{'} = -3r_{1} + 1r_{2}

干脆写成另一个矩阵得了： \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}

那么我们规定矩阵的单行乘法是这样：

多行乘法，就是单行分别乘，然后放一起：

啊哈！现在终于可以用矩阵乘法来表示高斯消元的过程了：

整个过程最终可简化为：

更详细的讲解，请参阅 从高斯消元法到矩阵乘法 。

初等行变换和初等行矩阵

由矩阵乘法规律可知，如果一个矩阵是方阵，并且只有对角线上的元素是1，其它元素都是0，那么它乘以任何矩阵的结果都是原矩阵。这就是 单位阵 I ， IA = A 。

高斯消元法用矩阵来理解的话，可以归纳为3种基本的行变换，称为“初等行变换”。在单位阵上应用其中一种变换 一次 得到的矩阵，就是“初等行矩阵”。

那么初等行矩阵有什么用呢？初等行矩阵乘上矩阵 A ，就相当于在矩阵 A 上实施了对应的初等行变换。比如上面的初等行矩阵 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} ，就是单位阵应用了倍加变换 r_{2}^{'} = -3r_{1} + 1r_{2} 得到的，而它乘上矩阵 A 的效果，就是对 A 实施了倍加变换 r_{2}^{'} = -3r_{1} + 1r_{2} ：

矩阵乘法的几种视角

行视角：

上面矩阵乘法的定义就是行视角。

适用场景：行向量（可理解为单行矩阵）乘以矩阵。

列视角：

通过行视角可以推出列视角（两者为何等价不作证明）：

适用场景：矩阵乘以列向量（可理解为单列矩阵）。

点积视角（教科书定义）：

对于矩阵 A =(a_{ij}), B = (b_{ij}) ，AB的乘积 C = (c_{ij}) 满足：

这个定义实在是难以理解其意义，只适合用来计算和死记硬背。

现在你明白高数教的都是啥了吧！

基变换视角：

举个例子：矩阵 A 乘以向量 \textbf{a} 得到向量 \textbf{b}

而矩阵 A 的列向量是

按照矩阵乘法的列视角，

这说明，矩阵乘法的结果可以理解为，原来的向量 \textbf{a} 的系数（坐标）不用变，只是把基向量从自然基变成了矩阵 A 的列向量！

或者说，输出向量 \textbf{b} 是矩阵 A 的列向量的线性组合。妙啊！

把系数用 x_{1}, x_{2} 代替，就得到一般的结论：

当然，我们知道行视角和列视角是等价的，取决于你是横着看还是竖着看，所以上面的讨论在行视角下也成立。

更详细的解释，参见： 马同学：线性代数（二）如何理解矩阵乘法 以及 异色瞳哥的经典视频

从函数（映射）角度来理解线性方程组的解

逆矩阵

其实，可以把矩阵当作函数来研究。因为函数，变换，映射这些都是一个意思。而矩阵的作用就是把一个向量映射成另一个向量，所以当然可以看成映射！

其实矩阵还是 线性 映射，而从线性映射出发又可以得到矩阵的另一个著名的定义。这一部分很不直观，我们还是选择线性方程组的角度吧！关于线性映射的简单推导可以看看 这篇 。

如图所示， A\textbf{x} =\textbf{y} 可以看成函数，它的定义域是个向量空间，值域也是个向量空间。

为啥非得研究函数呢？看这个图：

因为任何的线性方程组可以写成 A\textbf{x} =\textbf{y} ，那要求方程组的解，也就是 \textbf{x} ，简单来说不就是把 A 除过去完了？（ 等等，你不是说 A 是个函数吗？那不应该是除啊，应该是求 A 的反函数啊？你说的对，我草率了…… 准确地说，是我们只要找到 A 的反函数，然后对等式两边再应用一次反函数，就能得到 \textbf{x} 了 ）

那么假设有另一个矩阵，叫 A^{-1} ，它和 A 的乘积就是单位阵 I 。那我们给函数的两边都乘上 A^{-1} ，就得到 \textbf{x} =A^{-1}\textbf{y} ，求解完成！

这个 A^{-1} 就是矩阵 A 的 逆矩阵 ，相当于逆映射，反函数。而到这里， 解线性方程组就变成了求解系数矩阵的逆矩阵 ，妙啊！

重所周知，不是所有函数都有反函数啊！所以矩阵也不是都有逆矩阵。So，我们就来研究如何判定矩阵有没有逆矩阵。

矩阵的秩

我们可以用韦恩图这个神器来考察矩阵：

对于列向量矩阵函数：

它的函数四要素是：

画成韦恩图就是：

再进一步，矩阵 A 的所有列向量组成的向量组称为矩阵的 列向量组 。而列向量组张成的空间称为 列空间 ，记作 colsp(A) . 很显然，如果定义域是自然定义域，按照上一节矩阵乘法的基变换视角，那么值域 Ax 就等于列空间：

列空间的维度称为 列秩 （ rank ）。如果维度等于列的个数，也就是列向量组线性无关，就称为 列满秩 。

所以更新一下，在自然定义域下， m\times n 的列向量矩阵函数 Ax=y 的四要素为：

同理，换成行视角看， m\times n 的行向量矩阵函数 x^{T}A = y^{T} 的四要素为：

接下来，考虑 单射 ：所谓单射就是每个 y 最有有一个 x 与之对应。对于线性映射来说，可以推导出：

矩阵函数是单射\Leftrightarrow 定义域的维度 = 值域的维度

而对 m\times n 矩阵来说，定义域维度是 n ，值域的维度即列秩，而矩阵的列向量只有 n 个，所以：矩阵是列满秩。

再推广到行向量矩阵，可以得到：

其实，可以证明，任意矩阵的行秩都等于列秩（ 证明略 ）。所以矩阵 A 的 秩 的定义就是行秩或者列秩。记为 rank(A) 。

由这个定理，我们就又能愉快地讨论 满射 了：所谓满射就是值域与到达域相等。对于列向量矩阵来说就是：

同理，推广到列向量矩阵：

最后的 双射 就简单了：

那么矩阵的秩到底有什么意义呢？因为矩阵的秩就是矩阵函数的值域的维度，所以秩越大，值域的维度越大，反之亦然。所以可以把秩想象成一个筛子（ 而复合矩阵，就是筛子的叠加 ）。详细的讲解参见 如何通俗理解矩阵的秩？

到这里，我们终于可以给出逆矩阵的定义了：

其中 A 只能是双射、满秩方阵。 可逆等价于满秩 。

而逆矩阵怎么求，其实上一章的初等行变换求解线性方程组已经给出了思路：

• 先通过一系列的初等行变换，将矩阵 A 变成单位阵 I
• 再把这些初等行矩阵相乘，就能得到逆矩阵 A^{-1}

然而大佬就是大佬，数学家们还是嫌这样太麻烦，表示可以两步合成一步：把矩阵 A 和单位阵 I 合成一个矩阵 (A|I) ，然后对这个矩阵进行初等行变换。把左边变成单位阵之后，右边的就是逆矩阵 A^{-1} ：

这就是 高斯若尔当法 。

如何求矩阵的秩 ：我们已经知道所有的初等行矩阵和初等列矩阵都是满秩矩阵，所以它们和矩阵 A 相乘不改变 A 的维度。所以求矩阵 A 的秩就简单了：对矩阵应用各种初等行变换和初等列变换，直到化简成行阶梯型、行最简形、甚至标准型矩阵，矩阵中不全为0的部分就是矩阵的秩了。

线性方程组的解

终于又说回线性方程组了。我们已经知道，方程组可以写成 A\textbf{x} =\textbf{b} 的形式。

解的存在性 ：

如果有解，说明 \textbf{b} 在 A\textbf{x} 的值域中。也就是说 \textbf{b} 可以被 A 的列向量组线性表示，也就是说把 \textbf{b} 和 A 拼起来写成增广矩阵 B = (A|\textbf{b}) 的话， rank(A) = rank(B) ；如果无解，则 \textbf{b} 和 A 的列向量组线性无关，所以 rank(A) < rank(B) 。

特别地，如果 A 是行满秩，那不用麻烦了，此时值域等于到达域， \textbf{b} 一定在值域中，所以一定有解。

解的个数：

解是不是唯一的，等价于矩阵 A 是不是单射。所以：

• 唯一解，当且仅当是 A 是列满秩
• 无数解，当且仅当 A 不是列满秩

最后再来个特例， A 是满秩矩阵则一定有且只有一个解。

如何求解集：

如果 \textbf{b} = \textbf{0} ，则称为齐次线性方程组（否则就是非齐次）。此时的解集称为零空间（又名核空间），记为 null(A) 。那么如果 \textbf{b} \ne \textbf{0} ，我们可以先求出 null(A) ，然后再求出一个特解 \textbf{p} ,最终的解集就是零空间再加上 \textbf{p} 的平移： \textbf{p} + null(A)

求 null(A) 的过程基本就是高斯消元法，这里省略。

线性代数基本定理

对于 m\times n 矩阵 A 构成的矩阵函数，其定义域是 n 维的，而值域的维度是 rank(A) 。如果 rank(A) < n ，那其余的维度跑哪去了呢？直观地说，就是跑到零空间去了。所以线性代数基本定理是说：

rank(null(A)) + rank(A) = n

一鱼两吃：行列式

行列式的来历

对于上面的线性方程组，（矩阵满秩时）其实是能够直接给出解的公式的：

对于二元一次线性方程组：

解为：

好像有点规律？于是数学家就规定（对角线法则）：

于是解可以简化成：

同样对于三元一次线性方程组：

解为：

同样规定一种运算：

那么刚才的解可以化简为：

克拉默就发现，只要定义好了 行列式 ，那么线性方程组的解就是可以直接写出来的：

• 分母都是系数矩阵的行列式
• 分子是将系数矩阵的第 i 列换成 \textbf{b}

最后， n 阶行列式的定义为：

值为：

也就是说，最终的值是一个求和，其中每一项都是一组乘积。角标第一项都是 1,2,…,n ,而第二项的 p_{1},p_{2},...,p_{n} 表示 1,2,…,n 的全排列。 t 就表示某一组排列的逆序数。

这个定义不需要强记，我们后面来讨论它的意义及性质。实在好奇，可以看看 马同学：线性代数（三）行列式的来历

行列式的几何意义

先看二阶方阵 A_{2}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} ，它的列向量记为 \textbf{c}_{1}、\textbf{c}_{2} ，由矩阵乘法的基变换视角，相当于 R^{2} 平面的自然基被映射成了 \textbf{c}_{1}、\textbf{c}_{2} ：

画成图像就是正方形映射成了平行四边形：

可以证明： \textbf{c}_{1}、\textbf{c}_{2} 围成的平行四边形面积就是二阶行列式 |A_{2}| :

那么 |A_{2}| 显然还可能小于 0 ，它表示什么呢？其实就是把 \textbf{c}_{1}、\textbf{c}_{2} 翻转过来：

所以严格地说，二阶行列式 |A_{2}| 表示 \textbf{c}_{1}、\textbf{c}_{2} 围成的平行四边形的 有向面积 。

又由于映射之前，自然基围成的正方形的面积是 1 ，所以二阶行列式还表示有向面积的 伸缩比例 ！

有了二阶行列式，我们自然地可以推广到三阶：

三阶行列式 |A_{3}| 表示 \textbf{c}_{1}、\textbf{c}_{2}、\textbf{c}_{3} 围成的平行六面体的 有向体积 。

同样还表示有向体积的 伸缩比例 。

另外，如果把自然基向量也写进行列式，它还能表示 向量叉积 ，太有意思了！

叉积的定义就是有方向的面积，也就是说还是个向量： \textbf{S} = \textbf{b} \times \textbf{c}

法线的方向则是右手定则：

对于二阶方阵， 列向量的叉积就是矩阵的行列式 。

行列式的性质

余子式 ：就是在把 a_{ij} 所在的行和列划掉后剩下的部分，记作 M_{ij}

代数余子式 ：就是给余子式加上正负号。 A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

拉普拉斯展开 ：可以证明，行列式的值等于某行（或某列）的元素与其代数余子式乘积之和。

行列式与可逆矩阵 ：其实很好理解，比如二阶矩阵，如果行列式等于0，说明本来的 \textbf{e}_{1}、\textbf{e}_{2} 围成的正方形被映射成了直线或点，显然矩阵不满秩。

初等变换对行列式的影响 ：再提一些行列式的简单性质：

• 行列式乘以 k 倍，等于某行（列）乘以 k
• 某两行（列）互换后，行列式正负号发生改变
• 将某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）里，行列式的值不变
• 如果某一行（列）的每个元素是两数之和，则可拆分为两个相加的行列式
• 矩阵的乘积对应的行列式等于行列式的乘积。可以理解为两次伸缩。 |AB|=|A||B|

伴随矩阵 ：就是 A 的代数余子式的转置。( C 是 A 的代数余子式矩阵)

矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵求出： A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*} 。

哇，逆矩阵还可以这么求！

小结

到这里，行列式差不多讲完了。行列式也是从线性方程组引入的，而线性方程组求解的本质是求逆矩阵。在上一章中我们的求法是高斯若尔当法，本章则发现通过行列式可以直接求出逆矩阵。

矩阵的应用

基变换

同一个向量空间，可以选择不同的基。那么同一个点在不同的基下显然会有不同的坐标。由于切换基向量而引起的坐标变换，就称为基变换。

由矩阵乘法的基变换视角，只要把矩阵的列视为基向量，就可以计算基变换了。

假如我们知道某向量在一组基 \{\textbf{e}_{1}^{'}, \textbf{e}_{2}^{'}\} 下的坐标（例如 (-2,0) ），则可以得到其在自然基下的坐标：

坐标下面写基向量代表是在这组基下面的坐标。自然基 e 可以省略。

关键就是把 e^{'} 转换成 e 的那一步，实现了坐标系的切换，而这一步可以写成矩阵乘法的形式：

其中 P=(\textbf{e}_{1}^{'}, \textbf{e}_{2}^{'}) ，结果就是：

反过来，通过 P 的逆矩阵可以把自然基中的坐标转换成非自然基的：

P 和 P^{-1} 都称为 过渡矩阵 。

等价矩阵

假设有两个 m\times n 的矩阵 A 和 B 。当且仅当存在两个可逆矩阵 P 和 Q 使得： B=PAQ ，此时两者等价。记作： A\sim B

等价矩阵的意义是不同基下的同一个映射（只是定义中把 P^{-1} 写为 P ）：

因为初等变换对应的矩阵都是满秩矩阵，所以变换前后的矩阵是等价矩阵，秩相同，代表的是同一个线性映射。对于同型矩阵： A \sim B \Leftrightarrow rank(A) = rank(B)

相似矩阵 ：如果B映射两边是同一组基，那么 P 和 Q 其实是互为逆矩阵。 B=P^{-1}AP 。这种特殊的情况称两者为相似矩阵， A \simeq B .

特征值和特征向量

对 n 阶方阵 A ，如果存在数 \lambda 和 n 维非零列向量 \textbf{x} 使得 A \textbf{x} = \lambda \textbf{x} 成立，那么 \lambda 称为矩阵的特征值， \textbf{x} 称为 \lambda 对应的特征向量。

特征向量的几何意义是，这些向量在经过矩阵 A 的变换后，方向没有发生变化，只是长度发生了伸缩。

特征值和特征向量如何求呢？根据定义可以得到：

由于 \textbf{x} 必须是非零向量，所以方程必须有非零解，所以矩阵 (A - \lambda I) 必须不是满秩矩阵，即： |A-\lambda I| = 0 ，即：

这个行列式展开是个多项式，因为只有一个 \lambda 变量，所以是个一元 n 次多项式。根据 代数基本定理 ： 一元 n 次方程在复数范围内正好有 n 个复数根 ，这 n 个根显然就是 n 阶方阵 A 的特征值。把特征值代入原式就可以求出对应的特征向量。

特征值有一些特别的性质。可以证明：

• 矩阵的所有特征值的乘积等于矩阵的行列式
• 相似矩阵具有相同的特征值 ，从而行列式相等
• 矩阵的所有特征值之后等于矩阵的主对角线元素之和，后者称为矩阵的迹，记为 tr(A)

对角化

若 n 阶矩阵 A 有 n 个 线性无关 的特征向量： \textbf{p}_{1}, \textbf{p}_{2}, ..., \textbf{p}_{n} ，对应的特质值为：

则由特征向量组成的特征矩阵 P 可表示为： P = (\textbf{p}_{1}, \textbf{p}_{2}, ..., \textbf{p}_{n})

将 P 作为过渡矩阵可以得到一个相似矩阵 \Lambda = P^{-1}AP ， \Lambda \simeq A ，而 \Lambda 为：

这个把矩阵变换成一个相似的对角矩阵的过程，就称为对角化。

对角矩阵有很好的性质， 它的特征值就是对角线上的元素，而行列式就是这些元素的乘积 。

特征空间 ：一个特征空间（ eigenspace ）是具有相同特征值的特征向量与一个同维数的零向量的集合。因为特征向量具有线性的特征，所以我们知道这是个向量空间。记为： E_{\lambda} = \{u \in V | Au = \lambda u\}

一个矩阵是否可以对角化取决于其特征向量是否线性无关。而判断是否线性无关则要使用下面的方法：

正交化

标准正交基与正交矩阵 ：模长为1，且两两相交的基称为标准正交基。

显然，标准正交基就是对自然基旋转得到的，它的变换只会旋转，不会形变。

标准正交基有个很好的性质，某向量在其中一个基上的坐标分量，就是在它上面的投影长度。也就是点积。

由标准正交基构成的方阵就称为 正交矩阵 。它还有个有趣的性质（ 转置矩阵等于逆矩阵 ）： A^TA = I ，即 A^T=A^{-1}

显然，正交矩阵的作用是旋转，它可以是其它正交矩阵之间的过渡矩阵。

把非标准正交基变换为标准正交基的过程，称为 施密特正交化 。方法就是作垂线。

找到标准正交基之后，自然可以得到过渡矩阵，从而实现基变换。

最后，对于特殊的对称矩阵 A ，它的特征向量是正交的，所以可以同时实现对角化和正交化，这称为可对角正交化， A 称为 对角正交矩阵 。

二次型

n 元二次齐次函数称为二次型：

二次型可以写成矩阵的形式：

写成更现代的形式则是：

因此，一个二次型就对应一个对称矩阵。可以通过研究对称矩阵来研究二次型。

对于一个二次型，它的矩阵默认是以自然基为基的，因此可以写成：

假设再有一个过渡矩阵 P ，使得: \textbf{x}_{e} = P \textbf{y}_{e^{'}} ，代入上式可得：

化简可得：

中间的部分就称为 合同矩阵 ，这个过程相当于给二次型矩阵做了基变换。

注意它跟相似矩阵实在是太像了，而后者是 P^{-1} ，合同矩阵为 P^T

如果二次型只有二次项，则称为 标准型 。其对应的矩阵是个对角矩阵。

将普通的二次型变换为标准型的过程，就称为 标准化 。标准化有两种方法，分别是正交标准化和拉格朗日配方法。

参考资料

马同学图解线性代数 ：吐血推荐，并建议入手马同学的所有课程。学习曲线极为平坦，并且配有练习题，深得学习规律的精髓。

异色瞳哥的经典系列 ：适合入门后再看。那如何入门呢，建议还是看马同学。

《程序员的数学3 线性代数》：讲的也很形象了，并补充了计算机要考虑的数值计算内容，缺点是书有点厚。

极客时间-重学线性代数 ：适合入门后学习，扩展视野。

《线性代数应该这样学》：是教科书，理论推导很花时间，看了前三章后放弃了。不过也吸收了不少线性映射的思想。接下来我讲讲为啥不推荐拿它入门：

在前言中，作者说明了书名的来历。

“大多数的教材都很早就引入了行列式，用来证明本征值等问题；而行列式既难懂又不直观，而且其定义的引入也往往缺乏动机”。

然而实际上行列式通过方程组的解引入是很自然的，此外还有很多的几何意义。相反，书中的线性映射才是相当的不直观啊。

在前言的致学生一节中，作者提到：

你是第二次接触到线性代数…… 你不能像看小说那样去读数学。要是你不到一小时就读完一页的话，可能就读的太快了。

啊…… 这确实不是个入门书。

结论：学习是个螺旋上升的过程，知识依赖往往是有闭环的（也就是死循环）。有的书适合学会了之后再看，可以深化理解，进入下一个阶段；但入门的时候千万别选择，除非你的时间无限。