类似绝对值三角不等式的高数知识，数学知识果然是有连贯性的

绝对值三角不等式，指的是两数的绝对值差不大于两数差的绝对值，而两数的绝对值和不小于两数和的绝对值，即：|a|-|b|<=|a-b|; |a|+|b|>=|a+b|. 之所以要提这个知识，是因为接下来要讲的高数知识，和它非常相似。利用旧知识来理解新知识，是数学学习一项重要的技能。

这是一个关于有界数列的上、下极限的知识，两个数列和的上极限，不大于上极限的和；两个数列和的下极限，不小于下极限和。怎么样？是不是和绝对值的三角不等式非常类似啊？其中上极限关系对应和的情形，下极限关系对应差的情形。下面老黄为大家证明！

设{an},{bn}为有界数列.求证：

(1)lim ̅(n→∞)(an+bn)≤lim ̅(n→∞)an+lim ̅(n→∞)bn;

(2)▁lim(n→∞)(an+bn)≥▁lim(n→∞)an+▁lim(n→∞)bn.

证：(1)记lim ̅(n→∞)an=A, lim ̅(n→∞)bn=B,则对任给的ε>0，存在N>0，

使当n>N时，an<A+ε/2, bn<B+ε /2, 【这是上极限的充要条件的部分条件】

∴an+bn<A+B+ε. 由上极限的保不等式性得

lim ̅(n→∞)(an+bn)<A+B+ε,

由ε的任意性得: lim ̅(n→∞)(an+bn)≤A+B=lim ̅(n→∞)an+lim ̅(n→∞)bn.

(2)同理可证。【不过学习嘛，我们应该尽可能进行多种尝试，所以下面老黄要用另一种方法来证明】

记▁lim(n→∞)an=a,▁lim(n→∞)bn=b, ▁limn→∞)(an+bn)=c，

对任给的ε>0, 有无限个n，使得an+bn<c+ε, 【这是下极限的充要条件的部分条件】

若a+b>c, 取ε0=(a+b-c)/2>0, 则有无限个n, 使

an+bn<c+(a+b-c)/2=(a+b-c)/2=a+b-(a+b-c)/2=a+b-ε0.

又至多有有限个n和有限个m，使得an<a-ε0/2, bm<b-ε0/2, 【这是下极限的充要条件的另一部分条件】

设分别有p个an项和q个bm项满足以上条件,

则满足an+bn<a+b-ε0的n至多有pq个，矛盾！ 【同时满足上面两个条件，就是求可能性的积pq，其实这个值不重要，总之存在就可以了，写成pq+1，也不改变问题的实质】

∴a+b≤c，即▁lim(n→∞)(an+bn)≥▁lim(n→∞)an+▁lim(n→∞)bn.

所以数学知识是有连贯性的，像这样的高数知识，也可以在中学知识中找到对应的知识，只要你能善于利用旧知识来理解新知识，数学学习肯定会事半功倍的。