反常积分的奇函数在对称区间上的问题？

Question

函数x/(1+x²)是奇函数，他的反常积分在负无穷到正无穷上积分应该是零啊，但全书上说他们发散，请问为什么呢

关注者

31

被浏览

58,341

不谢邀。

你的意思是 \lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a \frac{x}{1+x^2}\mathrm dx=0 ，这个没问题。

sola 数学话题下的优秀答主 · Accepted Answer

数学话题下的优秀答主

这个无穷积分是发散的，但是在cauchy主值意义下收敛。

关于从负无穷到正无穷的无穷积分，应该讲趋向于负无穷和趋向于正无穷看成两个独立的极限过程。具体地说，从X积分到Y，再令X趋向负无穷，Y趋向正无穷。在这种看法下，函数奇偶性并不能决定其是否收敛。

而在cauchy主值意义下，这两个极限过程是相关的。具体地说，是从-X积分到X，再令X趋向于正无穷。在这个意义下，奇函数在关于原点对称区间上积分为0，所以取极限仍为0，所以是收敛到0的。

关于这两者的关系，容易看到收敛强于cauchy主值意义收敛，然而可证明在函数非负/非正的前提下，这两者是等价的。