著名的丢番图方程，最有趣的“世界难题”，从古研究至今

康托的天堂 

2019年9月6日，由布里斯托尔大学和麻省理工学院的研究人员领导的一个团队宣布，他们发现了所谓的“三个立方数和”的问题的最终解，即求方程x³+ y³+ z³= k的整数解，k的值在1到100之间。自1954年提出以来，直到2016年，除了k=33和k=42的两个解之外，所有的解都被找到了。19年3月，数学家安德鲁·R·布克（Andrew R. Booker）发表的一篇论文中宣布，他在布里斯托尔的超级计算机上花费了数周的计算时间，找到了k=33的正确解。

不久后，k=42的解也被发现了（布克和麻省理工学院的安德鲁·萨瑟兰），答案是：

对于k在1到1000之间的值，114、165、390、579、627、633、732、906、921和975的解仍然没有被发现。

丢番图方程

三个立方和的问题是求丢番图方程解的一个例子，它可以定义为：

定义
丢番图方程是一个有几个未知数、系数为整数的代数方程。

也就是说，丢盘方程是有几个未知变量（x，y，z， ……）的方程，它的解（=0）只有当方程的系数是整数时才会出现。

线性丢番图方程

线性丢番图方程是一阶方程，其解被限制为整数。线性丢番图方程为：

其中a、b、c为整数系数，x，y为变量。例如：

有多少个整数解？因为这是一个有两个未知数的方程，我们不能一次解一个变量（就像一个典型的线性方程组一样）。相反，对于线性情况，我们可以使用以下定理：

线性丢番图方程有整数解当且仅当c是a和b的最大公约数的倍数。

如果整数（x， y）构成给定a，b，c的线性丢番图方程的解，那么其他的解有（x + kv, y - ku）的形式，其中k是任意整数，u和v是a和b的最大公约数的商。

两个或两个以上整数的最大公约数（它们都不为零）是能整除每个整数的最大正整数。对于上面的例子，我们可以先提出公约数5，得到：

a和b的最大公约数是1和5。任何非负c都是1的倍数。有9个小于或等于40的5的倍数。它们是0，5，10，15，20，25，30，35，40。因此，方程5x+25y=200有9个整数解，他们是：

上述过程是丢番图分析的一个简单版本，它是找到丢番图方程的解所必需的过程。在这些分析过程中通常会问到的问题有：

有无限或有限的解吗？
理论上所有的解都能找到吗？
在实践中，人们能计算出完整的解列表吗？

用于求解丢芬图方程的常用方法包括因式分解、不等式、参数化、模算法、归纳法、费马无限递减法、归约为佩尔方程和连分式、位置数字系统和椭圆曲线法。

哈代-拉马努詹方程

哈代-拉马努詹数字——1729，被称为“出租车数”，它被定义为“可以用两种不同方式表示为两个正立方数的和的最小数”。这是英国数学家哈代在医院看望印度数学家斯里尼瓦萨·拉马努詹时发生的一件奇事：

我记得有一次他在帕特尼住院时，我去看他。我坐的是1729号出租汽车，我说这个数字在我看来很沉闷，我希望它不是什么不祥之兆。“不，”拉马努詹回答说，“这是一个非常有趣的数字，它是可以用两种不同的方式表示为两个立方数和的最小数。——哈代（1918）

出租车数的核心方程为丢番图，即：

1729可以表示为两个立方数的和（有两个解），它们是1³+ 12³和9³+ 10³。到目前为止，已知的出租车数有6个。它们是：

费马最后（大）定理

费马最后定理的原始表述

可以表示为立方数和的数字（如三立方数和问题和哈代-拉马努詹数）最早是在1657年由伯纳德·弗雷尼卡·德·贝西提出的，他在与约翰·沃利斯和皮埃尔·德·费马的书信中引用了1729这个数字来描述这一成果。从那以后，费马的名字在某种程度上就成了这个问题的一般情况的同义词。1637年，费马在丢番图的一本《算术》的空白处断言，三个正整数a、b和c不满足丢番图方程：

费马在他著名的声明中说他已经证明了n大于2的整数值是正确的（不满足丢番图方程），但他不能把它写在他的笔记中，因为写不下了：

一个立方数不可能是两个立方数的和，一个四次方数不可能是两个四次方数的和，一般来说，任何大于二次方的数都不可能是两个类似的幂的和。我发现了一个非常绝妙的例子来证明这个命题，即这个纸的边距太窄了，写不下。——费马

在经历了358年之后，这个猜想终于在1994年被英国数学家安德鲁·威尔斯在《数学年鉴》上发表的论文“椭圆曲线和费马最后定理”中证明了。怀尔斯的反证法长达129页，用代数几何和数论的技巧证明了椭圆曲线的模块化定理（ modularity theorem）的一个特例，它与 里贝特定理 （Ribet’s theorem）一起证明了费马最后定理的正确性。由于它大量地使用了现代数学，可以肯定的是，威尔斯的证明与费马声称发现的证明方法不一样（费马是否有更高明的证明方法？），费马的方法至今仍未找到。

毕达哥拉斯的三元数组

也许最著名的丢番图方程是费马最后定理中那个方程的一个特例，但对于n=2来说。这个方程可以帮助我们求出直角三角形的边长。

动画演示最简单的毕达哥拉斯三元数组，3²+ 4²= 5²

佩尔方程

佩尔方程（有时是佩尔-费马方程）是下列形式的任何方程，其中n是给定的无平方因子正整数，求x和y的整数解：

印度数学家Brahmagupta在628年首次广泛研究了丢番图方程。他开发了所谓的“查克拉瓦拉方法（ chakravala method）”来解决丢番图方程和其他不确定方程。早在大约一千年前，英国数学家约翰·佩尔（1611-1685）在约翰·海因里希·拉恩（Johann Heinrich Rahn）的指导下研究过它。

早在公元前400年，印度和希腊就研究过佩尔方程（n = 2）这种形式的方程，除了x²−2y²=−1的情况，因为这个方程与计算根号2得到的无理数有联系（如果x和y是满足这个方程的正整数，那么x/y是√2的近似值）。

在笛卡尔坐标系中，方程的形式是双曲线，当曲线经过一个x坐标和y坐标都是整数的点时，方程的解就会出现，例如x = 1，y = 0和x = -1，y = 0。拉格朗日证明了只要n不是完全平方数，佩尔方程就有无穷多个不同的整数解。