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定义
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雷诺数定义为：
，其中
是流体密度（kg/m
3
），
是流体速度（m/s），
是特征长度（m），
是粘性系数（kg/(m·s)）。
[1]
雷诺数可以在流体与物体表面发生相对运动时的不同情形下定义，这些定义通常涉及流体的密度和粘性等物理性质，以及速度和物体的特征长度或特征尺寸。特征长度或尺寸的选择有不同的约定，例如对于球体或圆形来说，直接使用自身半径作为特征长度；对于飞机或船只，可以使用其长度或宽度；对于管道中的流体，或球体在流体中运动时，一般使用内径；对于矩形管或不规则物体，则定义了等效直径；对于密度可变的流体（如可压缩气体）或粘度可变的流体（如非牛顿流体），则适用一些特殊规则。
实际上，流体流动通常是混沌的，边界表面的形状和粗糙度的微小变化就可能导致完全不同的流动状态，因此仅依赖雷诺数本身并不足以保证流体运动的相似性。尽管如此，雷诺数依然是一个非常重要且被广泛使用的参考指标。
在流动过程中，流体中的流体惯性和粘性力发生变化的区域被称为边界层，例如管道内壁。类似的效应也可以由将高速流体引入低速流体中产生，比如火焰排放的热气在空气中混合时所形成的情况。这种相对运动会产生流体摩擦力，从而促进湍流的发展；而流体的粘性则起到抑制湍流的作用。因此雷诺数通过定量描述流体惯性和粘性力的关系，为判断何时会出现湍流提供了依据
[2]
，这种预测湍流出现的能力是设计管道系统、飞机机翼等设备的重要参考。
关于层流与湍流，层流发生在雷诺数较小时，此时粘性力占主导，流体运动平稳且恒定；湍流则发生在雷诺数较大时，此时流体惯性占主导，容易形成混乱的涡流、旋涡以及其他流动不稳定现象。
[3]
推导
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雷诺数的公式推导如下：
基于无量纲的纳维-斯托克斯方程（Navier–Stokes equations）：
其中为
密度，
为速度，
为压力，
为动力粘度，
为体积力。
引入特征量：特征长度
、特征速度
、特征时间
、特征压力（动压）
、特征体积力
。
引入无量纲变量：
、
、
、
、
。
根据链式法则，实际导数与无量纲导数的关系为：
代入原方程并展开得到：（惯性项=压力项+粘性项+体积力项）
方程两侧归一化，乘以
有无量纲形式：
对于粘性项
，定义系数
为
，即得到：
。
历史
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奥斯本·雷诺（OsborneReynolds）以研究流体在管道中由层流向湍流转变的条件而闻名。在他1883年的论文中，雷诺兹描述了这一转变的经典实验：他在较大管道中注入一小股染色水到清水流的中心，并观察了不同流速下水流的行为。
奥斯本·雷诺 老年画像
由于较大管道是玻璃材质，因此可以直接观察到染色水流层的运动情况。在管道的末端装有一个流量控制阀，用来调节管内的水速。当水速较低时，染色层在整个管道中都保持着明显的界限；而当水速提高到一定程度时，该层在某个位置开始破裂，并扩散到整个流体截面上。这个破裂点就是层流向湍流转变的临界点。
基于这些实验，得出了用于描述动态相似性的无量纲雷诺数——即流体惯性与粘性力的比值。雷诺兹还提出了现在所称的雷诺平均方法，用于处理湍流问题，其中速度等物理量被表示为平均分量与波动分量的和。这种平均方法使得我们可以对湍流进行“整体”描述，从而得到雷诺平均的纳维-斯托克斯方程（Reynolds-averaged Navier–Stokes equations）：
[4]
应用
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雷诺数经典值
低
（远小于1）：粘性力支配，流动平稳且缓慢，流体惯性几乎可忽略。
中
（约1到10³）：粘性力和流体惯性相对接近，流动可能出现过渡现象。
高
（大于10³）：流体惯性主导，容易产生湍流和复杂的流场结构。
下面列出的数值都是不同尺度和速度条件下，流体在特定物体作用下或流体本身的雷诺数，数值的大小直接反映了流动特性，例如流动是否平稳（层流）或呈现混沌状态（湍流）：
[5-6]
Dictyostelium变形虫：约
，极低
的说明在这种微小尺度下，粘性力完全主导，运动时几乎看不到惯性效应。此时，流体对生物体的运动提供了很大的阻力。
细菌：约
，虽然尺寸比变形虫略大，但仍处于非常低的雷诺数范围，流动仍完全受粘性控制。
纤毛虫：约
，随着尺寸增大，
有所增加，但此时粘性力仍占据主导地位。
最小的鱼类：约
，此时流体惯性和粘性力开始达到相对平衡，这意味着流体的流动既受到粘性阻力的影响，又开始显示出一定的惯性特性。
大脑内血流：约
，处于中等偏低的
区域，表明血流中流体惯性与粘性力均有一定作用，流动状态较为平稳但可能出现局部扰动。
主动脉内血流：约
，
进一步升高，流体惯性增大，这使得血液在主动脉中运动时更容易受流速变化影响，流态接近层流但边缘可能出现过渡现象。
湍流开始的临界点：
管道流动约为
，边界层流动可达
，当
超过临界值时，流动会从层流转变为湍流——不同几何形状有不同的临界值，反映出流动不稳定性对尺度和边界条件的敏感性。
游泳运动员：约
，在人体尺度下，流体中的流体惯性远大于粘性力，流动完全处于高
状态，湍流现象明显。
最快的鱼：约
，高速游动的鱼产生的
非常高，表明流动中流体惯性极为主导，湍流结构复杂，对游动效率和机体造型都有显著影响。
蓝鲸：约
，作为体型巨大的海洋生物，蓝鲸运动时产生的
很高，流体动力学中惯性效应几乎完全占主导地位，流场中充满复杂湍流结构。
大吨位舰船：约
，对于大尺寸物体，流体运动中流体惯性远远超过粘性力，导致形成高度湍流和复杂的流场，这在船体设计和阻力计算中是关键因素。
热带气旋：约
，在大气尺度上，极高的
反映了整个系统中流体惯性的绝对优势，使得流动极其混沌，湍流现象普遍且能量巨大。
管内流场
管道中的雷诺数也服从
，其中
是体积流量（m
3
/s），
是管道横截面积（m
2
），
是运动粘度（m
2
/s）。因此通过横截面积
和质量流量
，可以进一步改写多种形式：
对于形状为正方形、矩形或环形的管道，内部流动情况所采用的特征尺寸
被取为水力直径
，此处
为所有与流体接触的通道壁的总周长（m），称为湿周
[7]
。对于圆形管道，水力直径正好等于管道的内径；对于环形管道，
可以简化为外管内径与内管外径之差；非圆形管道流动的计算中，如果管道截面的宽高比为
，
可用来代替特征尺寸，并能获得较为合理的精度。
[8]
湍流层流过渡现象
在平板上的边界层流动中，实验结果证实：经过一定的流动距离后，原本稳定的层流边界层会变得不稳定，并逐渐转变为湍流。这种不稳定现象在不同尺度和不同流体中均会出现，通常在局部的
时发生。
对于直径为
的管道，实验观察表明在充分的流动状态下：
时流动表现为层流
[9]
，
时流动表现为湍流
[7]
。
在
的数值低端，虽然流体会形成连续的湍流流动，但这种湍流只会在离管道入口非常远的地方才完全建立；而在入口附近，流动会间歇性地在层流和湍流之间交替出现，这种现象称为间歇流。间歇流的形成归因于管道横截面内不同区域流体速度及条件的差异，这些差异又受到管道粗糙度和流动均匀性等因素的影响。
一般来说，管道中心流速较快，容易保持层流状态；而靠近管壁处，由于流速较慢，湍流更容易形成。随着的增加，连续湍流区会向管道入口方向扩展，而间歇流区域也随之增多，直到当
时，整个流动完全转变为湍流。
湍流和层流运动的示意图
