如何求e的负x平方的次方在零到正无穷上的定积分？

这个积分有许多求法，譬如 二重积分法 ， Euler第二积分法 ，其本身也在概率论中有着重要的应用，其实只需要知晓 Wallis公式 即可求解，二重积分的方法已有人给出。

Wallis公式法

易得以下不等式

0< e^{-x^2}\le\frac{1}{1+x^2},x\in[0,+\infty)\\ e^{-x^2}\ge1-x^2\ge0,x\in[0,1]

那么我们又有

(1-x^2)^n\le e^{-nx^2},x\in[0,1]\\ e^{-nx^2}\le\frac{1}{(1+x^2)^n},x\in[0,+\infty)

则我们可以得到如下积分不等式

\int_0^1(1-x^2)^n\mathrm{d}x\le\int_0^1e^{-nx^2}\mathrm{d}x<\int_0^{+\infty }e^{-nx^2}\mathrm{d}x\le\int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+x^2)^n}\mathrm{d}x\\

对于 \int_0^1e^{-nx^2}\mathrm{d}x ， 令 x=\frac{t}{\sqrt{n}} ，有

\int_0^1e^{-nx^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{n}}\int_0^{\sqrt{n}}e^{-t^2}\mathrm{d}t\\

对于 \int_0^1(1-x^2)^n\mathrm{d}x ，令 x=\sin \alpha ，有

\int_0^1(1-x^2)^n\mathrm{d}x=\int_0^{\pi/2}\cos^{2n+1}\alpha\mathrm{d}\alpha\\

对于 \int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+x^2)^n}\mathrm{d}x ，令 x=\tan \theta ，有

\int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+x^2)^n}\mathrm{d}x=\int_0^{\pi/2}\cos^{2n-2}\theta\mathrm{d}\theta\\

三边同乘 \sqrt{n} ，即得

\sqrt{n}\int_0^{\pi/2}\cos^{2n+1}\alpha\mathrm{d}\alpha\le\int_0^\sqrt{n}e^{-t^2}\mathrm{d}t\le\sqrt{n}\int_0^{\pi/2}\cos^{2n-2}\theta\mathrm{d}\theta\\

到此就要介绍 Wallis公式（ 严格讲是它的变形 ） 与推导它的过程中用到的一个结论

\sqrt{\pi}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(n!)^22^{2n}}{(2n)!\sqrt{n}}\\ \begin{align} I_m=\int_0^{\pi/2}\cos^mx\mathrm{d}x&=\frac{(m-1)!!}{m!!}·\frac{\pi}{2},m为偶数\\& =\frac{(m-1)!!}{m!!},m为奇数 \end{align}

对左式取极限得

\begin{align} \lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt{n}\int_0^{\pi/2}\cos^{2n+1}\alpha\mathrm{d}\alpha&=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(2n)!!\sqrt{n}}{(2n+1)!!}\\ &=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{((2n)!!)^2\sqrt{n}}{(2n+1)!!(2n)!!}\\ &=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!!\sqrt{n}}\cdot\frac{n}{2n+1}\\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{align}\\

对右式取极限得

\begin{align} \lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt{n}\int_0^{\pi/2}\cos^{2n-2}\theta\mathrm{d}\theta&=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{n}(2n-3)!!}{(2n-2)!!}\cdot\frac{\pi}{2}\\ &=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{n}(2n-2)!}{((2n-2)!!)^2}\cdot\frac{\pi}{2}\\ &=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{n}(2n-2)!!(2n)^2(2n-1)}{((2n-2)!!)^2(2n)^2(2n-1)}\cdot\frac{\pi}{2}\\ &=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{n}(2n)!2n}{((2n)!!)^2(2n-1)}\cdot\frac{\pi}{2}\\ &=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\cdot\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{\pi}{2}\\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{align}\\

即可得

\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_0^{\sqrt{n}}e^{-t^2}\mathrm{d}t=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\\

Euler第二积分法

Euler第二积分是指如下积分

\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\mathrm{d}t,x\in(0,+\infty)\\

令 t=\lambda^2 ，可得

\Gamma(x)=2\int_0^{+\infty}\lambda^{2x-1}e^{-\lambda^2}\mathrm{d}\lambda\\

显然，当 x=\frac{1}{2} 时

\Gamma(\frac{1}{2})=2\int_0^{+\infty}e^{-\lambda^2}\mathrm{d}\lambda\\

由 余元公式

\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin\pi x},x\in(0,1)\\

可得

\int_0^{+\infty}e^{-\lambda^2}\mathrm{d}\lambda=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\\

此外，欧拉第二积分又叫做 伽马函数 ，通过分部积分，不难得出它的一个有趣的性质

\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\\

由此可看出，伽马函数实际上是阶乘的拓展，至于它的另一个性质余元公式，证明的方法更为多样且复杂，在此不予赘述。