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罗素悖论 时间悖论 数学危机 集合论 数学
打篮球的野马
3 年前
通过对三个在数学发展中产生了巨大影响的悖论（ 毕达哥拉斯悖论 、 贝克莱悖论 、罗素悖论）的介绍，让读者既能充分了解悖论对数学发展所起到的巨大作用，又能对数学中 欧几里得几何 、无理数、 微积分 、集合论等的来龙去脉获得更清晰的认识。
为了讲清楚三次数学危机的来龙去脉，我们首先要说明什么是数学危机。一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便是以“确定无疑”著称的数学也不例外。
人类最早认识的是 自然数 。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使乘法有了逆运算——除法，否则许多实际问题也不能解决。但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用整数之比来表示？于是发现 无理数 就导致了 第一次数学危机 ，而危机的解决也就促使逻辑的发展和 几何学 的体系化。
方程的解导致了 虚数 的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。
几何学的发展从 欧几里得几何 的一统天下发展到各种 非欧几何学 也是如此。在十九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上 代数方程 不能通过加、减、乘、除、 乘方 、开方求出根来； 古希腊 几何三大问题，即三等分 任意角 、倍 立方体 、 化圆为方 不能通过 圆规 、 直尺 作图来解决等等。
这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。这种发现给这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。比如说， 代数学 从此以后向抽象代数学方面发展，而求解方程的根变成了分析及 计算数学 的课题。在 第三次数学危机 中，这种情况也多次出现，尤其是包含整数算术在内的 形式系统 的不 完全性 、许多问题的不可判定性都大大提高了人们的认识，也促进了 数理逻辑 的大发展。
这种矛盾、危机引起的发展，改变面貌，甚至引起革命，在数学发展历史上是屡见不鲜的。 第二次数学危机 是由 无穷小量 的矛盾引起的，它反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。数学中也一直贯穿着计算方法、分析方法在应用与概念上清楚及逻辑上严格的矛盾。在这方面，比较注意实用的数学家盲目应用。而比较注意严密的数学家及哲学家则提出批评。只有这两方面取得协调一致后，矛盾才能解决。后来算符演算及δ函数也重复了这个过程，开始是形式演算、任意应用，直到施瓦尔兹才奠定广义函数论的严整系统。
对于 第三次数学危机 ，有人认为只是数学基础的危机，与数学无关。这种看法是片面的。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就牵涉到无穷集合，而 现代数学 如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑 有限集合 或至多是可数的集合，那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容，也有许多问题要涉及无穷的方法，比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。

数学危机 简介

从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的 纯粹数学 ）来源于 古希腊 的 毕达哥拉斯学派 。这个学派兴旺的时期为公元前500年左右，它是一个 唯心主义 流派。他们重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文学、音乐称为“ 四艺 ”，在其中追求宇宙的和谐及 规律性 。他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。
毕达哥拉斯 的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了 勾股定理 。他们知道满足 直角三角形 三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与 弦长 是不可通约的。这样一来，就否定了 毕达哥拉斯学派 的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。

数学危机 引起

不可通约性 的发现引起 第一次数学危机 。有人说，这种性质是 希帕索斯 约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是 毕达哥拉斯 已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击，换句话说，如果希帕索斯发现的无理数真的存在，那么古希腊的数学 理论体系 就完全崩溃了。这表明，几何学的某些真理与算术无关， 几何量 不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有 特殊地位 。
同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过 演绎推理 ，并由此建立几何学体系，这不能不说是 数学思想 上一次巨大革命，这也是 第一次数学危机 的自然产物。
回顾以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在 古希腊 ，数学也是 从实际出发 ，应用到实际问题中去的。比如 泰勒斯 预测 日食 ，利用影子距离计算金字塔高度，测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于 埃及 、 巴比伦 、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，所以也就一直停留在“算学”阶段。而希腊数学则走向了完全不同的道路，形成了 欧几里得 《 几何原本 》的公理体系与 亚里士多德 的逻辑体系。

数学危机 危机产物

古典 逻辑与 欧氏几何学
亚里士多德 的方法论对于 数学方法 的影响是巨大的，他指出了正确的定义原理。亚里士多德继承自己老师 柏拉图 的观念，把定义与存在区分，由某些属性来定义的东西可能未必存在(如正 九面体 )。另外，定义必须用已存在的定义过的东西来定义，所以必定有些最原始的定义，如点、直线等。而证明存在的方法需要规定和限制。
亚里士多德还指出公理的必要性，因为这是 演绎推理 的出发点。他区别了公理和公设，认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则只是某一门学科特有的最基本的原理。他把逻辑规律( 矛盾律 、 排中律 等)也列为公理。
亚里士多德对 逻辑推理 过程进行深入研究，得出 三段论法 ，并把它表达成一个 公理系统 ，这是最早的公理系统。他关于逻辑的研究不仅使逻辑形成一个独立学科，而且对 数学证明 的发展也有良好的影响。
亚里士多德 对于离散与连续的矛盾有一定阐述。对于潜在的“ 无穷大 ”和实在的“无穷大”加以区别。他认为正整数是潜在无穷的，因为任何整数加上1以后总能得到一个新的数。但是他认为所谓“无穷集合”是不存在的。他认为空间是潜在无穷的，时间在延长上是潜在无穷的，在细分上也是潜在无穷的。
欧几里得 的《 几何原本 》对数学发展的作用无须在此多谈。不过应该指出，欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识，构成一个标准化的演绎体系。这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到十九世纪。牛顿的《 自然哲学的数学原理 》和斯宾诺莎的《 伦理学 》等都采用了欧几里得《 几何原本 》的体例。
欧几里得的平面几何学为《 几何原本 》的最初四篇与第六篇。其中有七个原始定义，五个公理和五个公设。他规定了存在的证明依赖于构造。
《 几何原本 》在 西方世界 成为仅次于《 圣经 》而流传最广的书籍。它一直是几何学的标准著作。但是它还存在许多缺点并不断受到批评，比如对于点、线、面的定义是不严格的：“点是没有部分的对象”，“线是没有宽度的长度(线指曲线)”，“面是只有长度和宽度的对象”。显然，这些定义是不能起逻辑推理的作用。特别是直线、平面的定义更是从直观来解释的(“直线是同其中各点看齐的线”)。
另外，他的公理五是“整体大于部分”，没有涉及无穷量的问题。在他的证明中，原来的公理也不够用，须加上新的公理。特别是 平行公设 是否可由其他公理、公设推出更是人所瞩目的问题。尽管如此， 近代数学 的体系特点在其中已经基本上形成了。

数学危机 诞生

非欧几何学的诞生
欧几里得的《 几何原本 》是 第一次数学危机 的产物。尽管它有种种缺点和毛病，毕竟两千多年来一直是大家公认的典范。尤其是许多哲学家，把欧几里得几何学摆在绝对几何学的地位。十八世纪时，大部分人都认为 欧几里得几何 是物质空间中图形性质的正确理想化。特别是 康德 认为关于空间的原理是 先验综合判断 ， 物质世界 必然是欧几里得式的，欧几里得几何是唯一的、必然的、完美的。
既然是完美的，大家希望公理、公设简单明白、直截了当。其他的公理和公设都满足了上面的这个条件，唯独平行公设不够简明，像是一条定理。
欧几里得的平行公设是：每当一条直线与另外两条直线相交，在它一侧做成的两个同侧 内角 的和小于两直角时，这另外两条直线就在同侧内角和小于两直角的那一侧相交。
在《 几何原本 》中，证明前28个命题并没有用到这个公设，这很自然引起人们考虑：这条啰哩啰嗦的公设是否可由其他的公理和公设推出，也就是说，平行公设可能是多余的。
之后的二千多年，许许多多人曾试图证明这点，有些人开始以为成功了，但是经过仔细检查发现：所有的证明都使用了一些其他的假设，而这些假设又可以从 平行公设 推出来，所以他们只不过得到一些和平行公设等价的命题罢了。
到了十八世纪，有人开始想用 反证法 来证明，即假设平行公设不成立，企图由此得出矛盾。他们得出了一些推论，比如“有两条线在 无穷远点 处相交，而在交点处这两条线有 公垂线 ”等等。在他们看来，这些结论不合情理，因此不可能真实。但是这些推论的含义不清楚，也很难说是导出矛盾，所以不能说由此证明了平行公设。
从旧的 欧几里得几何 观念到新几何观念的确立，需要在某种程度上解放思想。
首先，要能从二千年来证明 平行公设 的失败过程中看出这个证明是办不到的事，并且这种不可能性是可以加以证实的；其次，要选取与平行公设相矛盾的其他公设，也能建立逻辑上没有矛盾的几何。这主要是 罗巴切夫斯基 的开创性工作。
要认识到欧几里得几何不一定是物质空间的几何学，欧几里得几何学只是许多可能的几何学中的一种。而几何学要从由直觉、经验来检验的 空间科学 要变成一门 纯粹数学 ，也就是说，它的存在性只由无矛盾性来决定。虽说象 兰伯特 等人已有这些思想苗头，但是真正把几何学变成这样一门纯粹数学的是 希尔伯特 。
这个过程是漫长的，其中最主要的一步是罗巴切夫斯基和波耶分别独立地创立 非欧几何 学，尤其是它们所考虑的无矛盾性是历史上的独创。后人把 罗氏几何 的无矛盾性隐含地变成 欧氏几何 无矛盾性的问题。这种利用“模型”和证明“相对无矛盾性”的思想一直贯穿到以后的 数学基础 的研究中。而且这种把非欧几何归结到大家一贯相信的欧氏几何，也使得大家在接受非欧几何方面起到重要作用。
应该指出，非欧几何为广大数学界接受还是经过几番艰苦斗争的。首先要证明 第五公设 的否定并不会导致矛盾，只有这样才能说新几何学成立，才能说明第五公设独立于别的公理公设，这是一个起码的要求。
当时证明的方法是证明“相对无矛盾性”。因为当时大家都承认 欧几里得几何 学没有矛盾，如果能把非欧几何学用欧几里得几何学来解释而且解释得通，也就变得没有矛盾。而这就要把非欧几何中的点、直线、平面、角、平行等翻译成欧几里得几何学中相应的东西，公理和定理也可用相应欧几里得几何学的公理和定理来解释，这种解释叫做非欧几何学的欧氏模型。
对于罗巴切夫斯基几何学，最著名的欧氏模型有 意大利 数学家贝特拉米于1869年提出的常负 曲率 曲面模型；德国数学家克莱因于1871年提出的 射影平面 模型和 彭加勒 在1882年提出的用 自守函数 解释的 单位圆 内部模型。这些模型的确证实了非欧几何的相对无矛盾性，而且有的可以推广到更一般非欧几何，即黎曼创立的椭圆几何学，另外还可以推广到 高维空间 上。
因此，从十九世纪六十年代末到八十年代初，大部分数学家接受了非欧几何学。尽管有的人还坚持 欧几里得几何 学的独特性，但是许多人明确指出非欧几何学和欧氏几何学平起平坐的时代已经到来。当然也有少数顽固派，如 数理逻辑 的缔造者弗雷格，至死不肯承认非欧几何学，不过这已无关大局了。
非欧几何学 的创建对数学的震动很大。数学家开始关心几何学的基础问题，从十九世纪八十年代起，几何学的公理化成为大家关注的目标，并由此产生了希尔伯特的新公理化运动。

数学危机 简介

早在古代，人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。 古希腊 的 欧多克斯 引入量的观念来考虑连续变动的东西，并完全依据几何来严格处理连续量。这造成数与量的长期脱离。古希腊的数学中除了整数之外，并没有 无理数 的概念，连 有理数的运算 也没有，可是却有量的比例。他们对于连续与离散的关系很有兴趣，尤其是 芝诺 提出的四个著名的悖论：
第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。
第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟总在他的前面。这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。
而第三、第四悖论是反对空间、时间由 不可分 的间隔组成。
第三个悖论是说“ 飞矢不动 ”，因为在某一时间间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。
第 四个悖论 是 游行队伍悖论 ，内容大体相似。这说明希腊人已经看到 无穷小 与“很小很小”的矛盾。当然他们无法解决这些矛盾。
希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“ 穷竭法 ”。它依靠间接的 证明方法 ，证明了许多重要而难证的定理。

数学危机 新问题

到了十六、十七世纪，除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外，还产生了许多新问题，如求速度、求 切线 ，以及求极大、 极小值 等问题。经过许多人多年的努力，终于在十七世纪晚期，形成了无穷小演算—— 微积分 这门学科，这也就是 数学分析 的开端。
牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于：
1，把各种问题的解法统一成一种方法， 微分法 和 积分法 ；
2，有明确的计算微分法的步骤；
3．微分法和积分法互为 逆运算 。
由于运算的完整性和 应用范围 的 广泛性 ，微积分成为了解决问题的重要工具。同时关于微积分基础的问题也越来越严重。以求速度为例， 瞬时速度 是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。Δt是零、是很小的量，还是什么东西，这个 无穷小量 究竟是不是零。这引起了极大的争论，从而引发了 第二次数学危机 。
十八世纪的数学家成功地用 微积分 解决了许多实际问题，因此有些人就对这些基础问题的讨论不感兴趣。如达朗贝尔就说，现在是“把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固”。更有许多人认为所谓的严密化就是繁琐。
但也正是因此，微积分的基础问题一直受到一些人的批判和攻击，其中最有名的是 贝克莱 主教在1734年的攻击。

数学危机 建立基础

十八世纪的 数学思想 的确是不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管基础的可靠与否，其中特别是：没有清楚的无穷小概念，因此导数、微分、积分等概念不清楚；对 无穷大 的概念也不清楚；发散级数求和的任意性；符号使用的不严格性；不考虑 连续性 就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等。
一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于 微积分 的严格基础。它们从 波尔查诺 、 阿贝尔 、 柯西 、狄里克莱等人的工作开始，最终由魏尔斯特拉斯、戴德金和 康托尔 彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为 数学分析 奠定了一个严格的基础。
波尔查诺不承认 无穷小数 和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析 表达式 。他抓住了极限的概念，指出 无穷小量 和 无穷大量 都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。
在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε - δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。
十九世纪七十年代初，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了 实数理论 ，而且在实数理论的基础上，建立起 极限论 的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。
同时，魏尔斯特拉斯给出一个处处不可微的 连续函数 的例子。这个发现以及后来许多 病态函数 的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。由此， 第二次数学危机 使数学更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题。这不仅导致 集合论 的诞生，并且由此把 数学分析 的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题，而这正是二十世纪数学基础中的首要问题。

数学危机 简介

经过第一、二次数学危机，人们把 数学基础 理论的无 矛盾性 ，归结为 集合论 的无矛盾性，集合论已成为整个 现代数学 的逻辑基础，数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了。看来集合论似乎是不会有矛盾的，数学的严格性的目标快要达到了，数学家们几乎都为这一成就自鸣得意。法国著名数学家庞加莱（1854—1912）于1900年在 巴黎 召开的国际数学家会议上夸耀道：“现在可以说，（数学）绝对的严密性是已经达到了”。然而，事隔不到两年，英国著名 数理逻辑 学家和哲学家罗素（1872—1970）即宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“ 罗素悖论 ”。1918年，罗素把这个悖论通俗化，称为“理发师悖论”。罗素悖论的发现，无异于晴天劈雳，把人们从美梦中惊醒。罗素悖论以及 集合论 中其它一些悖论，深入到集合论的理论基础之中，从而从根本上危及了整个数学体系的 确定性 和严密性。于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了 数学史 上的第三次危机。
产生 集合论悖论 的原因在于集合的辨证性与 数学方法 的形式特性或者 形而上学 的 思维方法 的矛盾。如产生 罗素悖论 的原因，就在于 概括原则 造集的 任意性 与 生成集合 的客观规则的非任意性之间的矛盾。

数学危机 再次产物

数理逻辑 的发展与一批现代数学的产生。
为了解决 第三次数学危机 ，数学家们作了不同的努力。由于他们解决问题的出发点不同，所遵循的途径不同，所以在本世纪初就形成了不同的数学 哲学流派 ，这就是以罗素为首的 逻辑主义学派 、以 布劳威尔 （1881—1966）为首的 直觉主义学派 和以 希尔伯特 为首的 形式主义学派 。这三大学派的形成与发展，把 数学基础 理论研究推向了一个新的阶段。三大学派的数学成果首先表现在数理逻辑学科的形成和它的现代分支—— 证明论 等——的形成上。
为了排除 集合论悖论 ，罗素提出了 类型论 ，策梅罗提出了第一个 集合论公理系统 ，后经 弗伦克尔 加以修改和补充，得到常用的策梅罗——弗伦克尔集合论公理体系，以后又经伯奈斯和哥德尔进一步改进和简化，得到伯奈斯——哥德尔集合论公理体系。希尔伯特还建立了 元数学 。作为对集合论悖论研究的直接成果是 哥德尔不完全性定理 。
美国杰出数学家 哥德尔 于20世纪30年代提出了 不完全性定理 。他指出：一个包含逻辑和 初等数论 的 形式系统 ，如果是协调的，则是不完全的，亦即无矛盾性不可能在本系统内确立；如果初等算术系统是协调的，则 协调性 在 算术系统 内是不可能证明的。哥德尔不完全性定理无可辩驳地揭示了 形式主义 系统的局限性，从数学上证明了企图以形式主义的 技术方法 一劳永逸地解决悖论问题的不可能性。它实际上告诉人们，任何想要为数学找到绝对可靠的基础，从而彻底避免悖论的种种企图都是徒劳无益的， 哥德尔定理 是 数理逻辑 、人工智能、 集合论 的基石，是数学史上的一个里程碑。美国著名数学家冯·诺伊曼说过：“哥德尔在 现代逻辑 中的成就是非凡的、不朽的——它的不朽甚至超过了纪念碑，它是一个里程碑，在可以望见的地方和可以望见的未来中永远存在的纪念碑”。
时至今日， 第三次数学危机 还不能说已从根本上消除了，因为 数学基础 和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决。然而，人们正向根本解决的目标逐渐接近。可以预料，在这个过程中还将产生许多新的重要成果。
 
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