上一篇讲了三个典型的离散分布（ 离散分布概率：几何分布、二项分布和泊松分布 https://blog.csdn.net/weixin_41140174/article/details/99634408 ），这篇开始进入连续型概率分布，最常用的“正态分布”。

1. 连续型概率分布和离散型概率分布

离散型概率分布：几何分布、二项分布、泊松分布都是离散型概率分布，一般是求事件出现次数的概率，次数是整数，其取值不是连续的。

连续性概率分布：但生活中，还有一类事件，如每个人的身高，其值是连续的，描述这种事件的概率分布就是连续性概率分布，正态分布是最基本是连续型概率分布。

2. 概率密度函数用于描述连续型概率分布

和离散型概率分布不同，连续型概率分布很难说一个确切值的概率（实际上=0），往往是求某一个数值范围的概率，概率值就是概率密度函数在某个数值范围内下方的面积。

概率密度函数下方的总面积必须等于1.

3. 正态分布是连续数据的“理想”模型

正态英文为Normal，就是常见的、典型的意思，在现实生活中，测量值之类的大量连续数据，会期望看到这种形状。

正态分布具有钟形曲线，中间概率密度大，两边概率密度小。形状通过参数μ和σ确定。一个连续随机变量符合均值为μ，标准差为σ的正态分布，记作： X~N(μ，σ^2) ,

性质如下：

4. 正态分布概率计算三部法

1 ）确定分布与范围：如果遇到的问题适用于正态分布，则看看能否求出均值和标准差，只有先得知这些信息，才能求出概率，还需要弄清楚要求的是哪一部分的面积。

2 ）使用标准分算法， Z=(X-μ)/σ 将欲求的概率分布范围转化为标准正态分布 N~(0,1) 范围

3 ）一旦转化为标准正态分布，就可以利用概率表查找概率

问题举例：

已知男生身高X符合正态分布N(71,20.25), 求男生身高大于64英寸的概率。

1 ）对正态分布X~N(71,20.25)，求P(X>64)

2) 转化为标准分

Z=(X-μ)/σ= （64-71）/20.25^0.5=-1.56, P(X>64)=P(Z>-1.56)

3) 查概率表，可得P(Z<-1.56)=0.0594

则P(X>64)=P(Z>-1.56)=1-P(Z<-1.56)=1-0.0594=0.9406

5. P(Z>a) 和P(a<Z<b)概率求解

标准正态分布概率表能查的是P(Z<a)的概率值，如果要求P(Z>a)或者P(a<Z<b)，则可以利用以下办法：

P(Z>a)=1-P(Z<a)

P(a<Z<b)=P(Z<b)-P(Z<a)

6. 下一篇继续深入讲复杂正态分布运用——独立正态分布组合概率、二项分布、泊松分布近似正态分布的运用

https://blog.csdn.net/weixin_41140174/article/details/99701299

上一篇讲了三个典型的离散分布（离散分布概率：几何分布、二项分布和泊松分布https://blog.csdn.net/weixin_41140174/article/details/99634408），这篇开始进入连续型概率分布，最常用的“正态分布”。1. 连续型概率分布和离散型概率分布离散型概率分布：几何分布、二项分布、泊松分布都是离散型概率分布，一般是求事件出现次数的概率，次数是整数，其... 来源：丁点帮你 正态分布 ，这个我们从中学就学过的内容，真有这么重要吗？我想，真正学懂统计的人对这一点是不会质疑的，且不谈特别高深的统计理论，彻底弄懂 正态分布 是灵活运用统计学中各种假设检验方法、看懂p值，理解均数置信区间的前提。今天，我尝试带着大家搞懂对于 正态分布 你需要知道的所有知识点。 作为统计学的基础，我们会主要注重思维理解，复杂的数学 计算 在此略去。这并非意味着数学不重要，对数学的仔细专研恰恰会特别辅助理解和掌握，只是对于大部分数学基础不好的同学这个难度不小，所以我们在这.. 假设某饮料罐装生产线罐装后饮料重量服从 正态分布 ，均值为 10，标准差为 4。现随机从该生产线抽取一瓶测量重量，请 计算 该瓶重量小于 8 的 概率 。 可供使用的部分 正态分布 表数值： φ（0.0）=0.500，φ（0.5）=0.6915，φ（1.0）=0.8413 标准 正态分布 公式：X~N（μ，δ²） 带入μ为均值10，δ为标准差4，X~N（10，4²） 概率 公式：Y=X-μ/δ 带入X为8的 概率 ，Y<8-10/4 ， Y&l... 3．1 二点分布和均匀分布 1、 两点分布 许多随机事件只有两个结果。如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作，或者失效。描述这类随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。它服从的分布称两点分布。 其 概率 分布为： 其中 Pk=P（X=Xk），表示X取Xk值的 概率 ： 0≤P≤1。 X的期望 E（X）=P X的方差 D（X）=P（1—P） 2、 均匀分布 如果连续随机变量X的 概率 密度函数f（x）在有限的区间[a，b]上等于一个常数，则X服从的分布为均匀分布。 其 概率 分布为： X的期望 E（X）=（a+b）/2 X的方差 D（X）=（b-a）2/12 3．2 抽样检验中应用的分布 3．2．1 超几何分布 假设有一批产品，总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布。 X的分布 概率 为： X=0，1，…… X的期望 E（X）=nd/N X的方差 D（X）=（（nd/N）（（N-d）/N）（（N-n）/N））（1/2） 3．2．2 二项分布 超几何分布的 概率 公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而 计算 起来十分繁琐。二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。 假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，其中不合格品数X服从的分布为二项分布。 X的 概率 分布为： 0<p<1 x=0，1，……，n X的期望 E（X）=np X的方差 D（X）=np（1-p） 3．2．3 泊松分布 泊松分布比二项分布更重要。我们从产品受冲击（指瞬时高电压、高环境应力、高负载应力等）而失效的事实引入泊松分布。假设产品只有经过一定的冲击次数后，产品才失效，又设这些冲击满足三个条件： （1）、两个不相重叠的时间间隔内产品所受冲击次数相互独立； （2）、在充分小的时间间隔内发生两次或更多次冲击的机会可忽略不计； （3）、在单位时间内发生冲击的平均次数λ（λ＞0）不随时间变化，即在时间间隔Δt 内平均发生λΔt 次冲击，它和 Δt 的起点无关。 则在[0，t]时间内发生冲击的次数X服从泊松分布，其分布 概率 为： X的期望 E（X）=λt X的方差 D（X）=λt 假设仪表受到n次冲击即发生故障，则仪表在[0，t]时间内的可靠度为： 其中：x =0，1，2，……，λ＞0，t＞0。 3．2．4 x2分布 本分布是可靠性工程中最常用的分布之一，虽然其 概率 密度形式较复杂，但可由标准 正态分布 推出。 设有v个相互独立的随机变量X1，X2，…… Xv，它们服从于标准 正态分布 N（0，1）。记x2 =X12 + X22 +…Xv2 ，x2读作“卡方”则x2服从的分布称为x2分布。它的 概率 密度函数为： 该式称为随机变量x2服从自由度为V的x分布。 式中：V—为自由度，是个自然数 x2分布最重要的性质是： 当m为整数时： 3．3 产品的寿命分布 3．3．1 指数分布 指数分布是电子产品在可靠性工程学中最重要的分布。通常情况下，电子产品在剔除了早期故障后，到发生元器件或材料的老化变质之前的随机失效阶段其寿命服从指数分布规律。 指数分布是唯一的失效率不随时间变化而变化的连续随机变量的 概率 分布。容易推出： 指数分布有如下三个特点： 1． 平均寿命和失效率互为倒数； MTBF=1/λ 2． 特征寿命就是平均寿命； 3． 指数分布具有无记忆性。（即产品以前的工作时间对以后的可能工作时间没有影响） 3．3．2 威布尔分布 从上面的描述可知，指数分布只适用于浴盆曲线的底部，但任何产品都有早期故障，也总有耗损失效期。在可靠性工程学中用威布尔分布来描述产品在整个寿命期的分布情况。 将指数分布中的（-λt）替换为（-（t/η）m），就得到威布尔分布。容易得到： 3．4 为进行统计推断所构造的分布 3．4．1 t分布（学生氏分布） t—分布常用于区间估计、正态总体的假设检验以及机械 概率 设计之中。服从t—分布的随机变量记住t。它是服从标准 正态分布 N（0，1）的随机变量U和服从自由度为v的x2分布的随机变量x2（v）的函数。 它的 概率 密度函数f（t）为： 3．4．2 F—分布 F分布主要用于两个总体的假设检验与方差分析。服从F分布的随机变量F是两个相互独立的x2分布随机变量x2（v1）和x2（v2）的函数： 式中：F只能取正值。F分布的 概率 密度函数为： 另外还有β—分布等。 中位秩是β—分布的中位数，一般用下式 求 出： 中位秩值≈（i-0.3）/(n+0.4) 式中：n为样本总数。 4. 进行正态性检验，例如使用正态 概率 图或者假设检验。 在 MATLAB 中，可以使用 `normpdf` 函数来 计算 正态分布 的 概率 密度函数，使用 `mean` 和 `std` 函数来 计算 随机变量的期望值和标准差（从而得到方差），使用 `zscore` 函数来进行标准化处理，使用 `normplot` 函数来画出正态 概率 图。 以下是一个示例代码，演示如何使用 MATLAB 来证明一个随机变量符合 正态分布 ： ```matlab % 生成 1000 个随机数 x = randn(1000, 1); % 计算 期望值和标准差 mu = mean(x); sigma = std(x); % 计算 概率 密度函数 pdf = normpdf(x, mu, sigma); % 标准化处理 z = zscore(x); % 绘制正态 概率 图 normplot(z); % 进行假设检验 [h, p] = kstest(z); disp('The data does not follow a normal distribution.') disp('The data follows a normal distribution.') 在这个例子中，我们使用 `randn` 函数生成了 1000 个随机数，并通过 计算 期望值和标准差来得到 正态分布 的 概率 密度函数。然后使用 `zscore` 函数将随机变量标准化，并使用 `normplot` 函数画出正态 概率 图。最后，我们进行了假设检验，判断该随机变量是否符合 正态分布 。