学习微分几何，需要哪些预备知识？

我猜题主指的应该是本科级别的微分几何，那对应的level应该是do carmo的那本《differential geometry of curves and surfaces》+一点点manifold相关的知识。要看懂这本书需要的知识储备其实不多，我猜题主应该是非纯数专业的理工科学生，因为微分几何是纯数的必修课，所以纯数的学生应该不会问这种问题。如果假设题主是理工科学生的话，那么题主应该是学过微积分和线性代数的，那要看懂do carmo就很简单了。

要看懂do carmo，所需要的知识大概有以下几点：

• 求导，算积分，求determinant，求eigenvalue和eigenvector，以及diagonalization。 这一部分知识你作为理工科学生应该是很熟练的。你会在do carmo里遇到大量的你在学习微积分和线性代数的时候一直在做的计算题。
• do carmo引用了很多微积分和线性代数里的经典定理，你看到这部分内容的时候可以直接把微积分和线性代数的书翻出来，直接用结论即可。不用深入理解那些经典定理也是可以继续看下去的。主要用到的就是multi-variable version 的chain rule和inverse function theorem。 而且do carmo每一章的最后一个section都是附录，里面包含了这一章所用到的微积分和线性代数知识。
• 除了微积分和线性代数，一些有意思的推论的证明需要使用到一点点的point set topology，这个可以现学，即使你没学过point set topology也是可以继续看的，不影响对后续内容的理解。
• 有了以上三点所说的基础知识，你就可以看懂do carmo了。当然了，你微积分和线性代数的基础越扎实，你的理解就能越深。比如说一开始在学regular curve和unit-speed reparametrization的时候，你要是以前在微积分/数学分析里学过一点关于rectifiable curve的东西的话，那么你会很舒服。在学frenet-serret formula的时候，你要是学过ode的相关知识的话，那么你会很舒服。如果你在multi-variable calculus学过differentiable map的相关理论内容的话，那么在学derivative of smooth maps between smooth surfaces的时候，你会很舒服。线性代数里的linear map，inner product，orthogonal matrix，quadratic form这一块的知识学得好的话，你在学gauss map，1st/2nd fundamental form，isometry and conformal maps的时候会很舒服。学过open/closed/compact sets相关知识的话，你会在很多地方都很舒服。
• 你的微积分线性代数基础越扎实你会学的越舒服。但是你即使没有学过我在上一点说到过的知识，仅仅掌握了微积分线性代数里的各种计算类的知识，你也是可以看得懂的。遇到不懂的再把微积分线性代数课本翻出来直接用上面的结论即可。
• 如果你看完了do carmo并且觉得微分几何很有意思，想要深入学习的话，那么这时候就可以按照 @Yuhang Liu 提供的学习路子来学。

一点题外话：

• 我是一个微积分和线性代数都考了70几的物理系学生，也就是除了基本的知识以外真的啥都不懂，这学期我学了数学系的微分几何，还算顺利。所以，如果我能学的来，那么你也可以。
• 我在国外上学，所以一些术语我只知道英文。如果造成了任何不便，十分抱歉。
• 有想到别的东西的话，我会再补充。