什么是三角不等式？

对于内积空间 V 而言，三角不等式指 \|u+v\| \leq\|u\|+\|v\| 。如果对向量空间 \mathbb R 上取欧几里得范数 ||a||=|a| 后，对两向量 a,b 应用三角不等式，即可得到 |a+b|\le |a|+|b| 。以此类推，对向量空间 \mathbb R^n 取欧几里得范数 \left\|\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)\right\|=\sqrt{a_{1}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}} 并对 n 个向量 (a_1,0,...,0),... 多次 应用上式就能得到一般的三角不等式 \sqrt{\sum_i^na_i^2}\le \sum_i^n\sqrt{a_i^2} 。

这就是为什么 |a+b|\le |a|+|b| 和 \sqrt{a^2+b^2}\leq |a|+|b| 形式上不容易看出有什么明显的联系（指初等数学视角），却都叫三角不等式。

至于柯西不等式，是指 |\langle u, v\rangle| \leq\|u\|\|v\| ，当对定义了欧几里得内积 \left\langle\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right),\left(b_{1}, \ldots, v_{n}\right)\right\rangle=a_1b_1+\cdots+a_nb_n 的 \mathbb R ^n 应用这个不等式即可得到 \left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^{2}\le\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}