皮亚诺公理
乘法结合律
(
m
·
n
)·
k
=
m
·(
n
·
k
)。
当
k
=0时，(
m
·
n
)·0=0 (乘法定义)
m
·(
n
·0)=
m
·0=0 (乘法定义)。
假设结论对
k
成立, 即(
m
·
n
)·
k
=
m
·(
n
·
k
)。下证结论对
k
'成立。
(
m
·
n
)·
k
'=(
m
·
n
)·
k
+
m
·
n
(乘法定义)
m
·(
n
·
k
')=
m
·(
n
·
k
+
n
) (乘法定义)
=
m
·(
n
·
k
)+
m
·
n
(乘法分配律)
=(
m
·
n
)·
k
+
m
·
n
(归纳假设), 因此结论对
k
'也成立, 由数学归纳原理知,
乘法结合律
成立。
0·n=0
当
n
=0时，由乘法定义0·0=0, 结论成立。
假设结论对
n
成立, 即0·
n
=0。 下证结论对
n
'成立。
0·
n
'=0·
n
+0 (乘法定义)
=0+0 (归纳假设)
=0 (加法定义)
因此, 0·
n
'=0, 结论对
n
'也成立, 由数学归纳原理知，结论成立。
n'·m=n·m+m
当
m
=0时, 由于
n
'·0=0(乘法定义)
又
n
·0+0=0+0 (乘法定义)
=0 (加法定义), 因此
n
'·0=
n
·0+0, 结论成立。
假设结论对
m
成立, 即
n
'·
m
=
n
·
m
+
m
. 下证结论对
m
'成立。
n
'·
m
'=
n
'·
m
+
n
' (乘法定义)
=(
n
·
m
+
m
)+
n
' (归纳假设)
=(
n
·
m
+
m
)+(
n
+1) (后继运算)
=(
n
·
m
+
n
)+(
m
+1) (加法运算的性质)
=
n
·
m
'+
m
' (乘法定义和后继运算)
因此结论对
m
'也成立, 由数学归纳原理结论成立。
定义整数为自然数对（
a
,
b
）；定义：如果
a
+
d
=
b
+
c
，则(
a
,
b
)=(
c
,
d
)；定义整数加法为(
a
,
b
)+(
c
,
d
)=(
a
+
c
,
b
+
d
)；定义(
a
,
b
)的相反数为（
b
,
a
）。将(
a
,0)和
a
等同。则可以证明自然数是整数的一部分，加法的定义是相符的。这样，在整数上，我们有相反数的概念。整数和它相反数的和是0，0和任意整数的和是其自身。在整数上，定义
a
-
b
为
a
+(-
b
)。可以验证，这样的定义与通常理解的整数加减法是一致的。
进一步定义有理数为整数对[
a
,
b
]，其中
b
非零。定义[
a
,
b
]=[c,d]如果
ad
=
bc
。定义有理数乘法为[
a
,
b
][
c
,
d
]=[
ac
,
bd
],定义[
a
,
b
]的倒数为[
b
,
a
]，如果
a
,
b
非零。定义有理数加法为[
a
,
b
]+[
c
,
d
]=[
ad
+
bc
,
bd
]，定义[
a
,
b
]的相反数为[-
a
,
b
]，定义
a
-
b
为
a
+(-
b
)。将[
a
,1]和
a
等同，则可以证明整数是有理数的一部分，加法减法乘法的定义是相符的。这样，在非零有理数上，我们有倒数的概念。非零有理数和它倒数的积是1，1和任意有理数的积是其自身。在有理数上，定义
a
/
b
为
a
(1/
b
)，如果
b
非零。可以验证，这样的定义与通常理解的有理数加减乘除法是一致的。
如果大家对这方面问题感兴趣的话，可以尝试证明前文中“可以验证”的内容，也可以看看
来知道具体是怎么证明的。
皮亚诺公理是意大利数学家皮亚诺在1889 年发表的。虽然描述这套公理体系的数学语言发生过不少变化，但这套体系本身始终被延用。根据这个建立在公理基础之上的自然数体系，通过引入减法可以得到整数系，再引入除法得到有理数体系。随后，通过计算有理数序列的极限（由数学家康托提出）或者对有理数系进行分割（由戴德金提出）得到实数系
。这一套公理化实数体系连同同时期魏尔斯特拉斯在微积分分析化过程中的贡献（例如极限定义中的
ε
-
δ
语言）一道，使得早已被人类应用两百多年的微积分学能建立在一个坚实的基础上
总结一下，我们的有理数和实数有加减乘除四种运算。那有没有别的公理体系和代数系统呢？答案是肯定的。
在回答这个问题前，先来看看什么叫代数系统。首先看看，如果只有加减法会怎么样？我们可以定义
阿贝尔群
为只有加减法的代数系统（
G
,+）,这里+满足：
1° 结合律,(
a
+
b
)+
c
=
a
+(
b
+
c
);
2° 零元素,0+
a
=
a
+0=
a
;
3° 相反数，每一个元素
a
都有相反数(-
a
)，满足
a
+(-
a
)=(-
a
)+
a
=0;
4° 交换律，
a
+
b
=
b
+
a
.
在阿贝尔群上，可定义减法为
a
-
b
=
a
+(-
b
)。
下面来看一个例子，定义
G
为两个元素的集合{奇数，偶数}。定义偶数+偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数。将偶数视为0，偶数的相反数为偶数，奇数的相反数为奇数。则这样定义的加法和减法也符合加减法的基本运算规则。换句话说，我们得到了和整数不一样的一个阿贝尔群！与之类似的，可以定义
G
为
n
个元素的集合{
n
的倍数，
n
的倍数+1，……，
n
的倍数+
n
-1}。这样的阿贝尔群在数学上被称作
Z
n群。
Z
2群就是前文中{奇数，偶数}群，奇偶性和余数，2和其他的数字相比没有任何特殊性。顺便说一下，如果在前文中去掉公理2，而定义（
n
-1）的后继为0的话，就将得到
Zn
群。
在阿贝尔群的定义中去掉交换律即可得到群的定义。
那如果有加减乘三种运算呢？定义
交换环
为(
G
,+,*),其中(
G
,+)为阿贝尔群，（
G
,*）满足结合律和交换律，且有分配率：
a
(
b
+
c
)=
ab
+
ac
。如果去掉乘法交换律则称为环。例如（有限小数，加法，乘法）就构成了一个交换环。
同时拥有加减乘除四种运算的代数结构称为域。其正式的定义是，一个交换环(
G
,+,*)被称为域，如果存在乘法单位元1，满足1·
a
=
a
=
a
·1,且除0外的所有元素
a
都有倒数1/
a
,满足（1/
a
）
a
=1=
a
(1/
a
)。定义域上的除法为
a
/
b
=
a
(1/
b
)。
例如，{奇数，偶数}附加乘法运算：偶数×偶数=偶数×奇数=奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，之后成为交换环，奇数就是乘法单位元。这被称作二元数域。一般地，前文中所说的
Zn
也可类似地构成交换环，在n为素数的情况下构成域。
如果定义另一种系统，这个系统有零、一、二、三……等元素，那么会怎么样？表面上看0和零，1和一似乎是完全不一样的东西。但是，如果看它的本质内涵的话，0和零只是本质上一样的东西用不同的语言描述罢了。在数学上，有理由认为本质上相同的东西是同一个东西。用专业术语来说，就是“同构”。
严格地，定义两个结构同构，如果它们的元素一一对应，且满足相同的运算。例如1和一对应，2和二对应，1+1=2对应过去后写做一加一等于二，刚好和原有的加法定义一致。
更加深奥的概念是部分同构，换句话说两者只有在只考虑某种运算的情况下是一致的。一个例子就是半整数(0,1/2,1,3/2,2,5/2,…，-1/2,-1,-3/2,-2,…)和整数。我们可以让整数中的1看做半整数中的1/2，整数中的n和半整数中的
n
/2对应，则只考虑加法的话，这两个阿贝尔群是同构的！可以这样通俗地理解：整数中1看做加法单位，2看做两个单位，然后让1/2成为半整数单位。然而，你也许会问(1/2)×(3/2)=3/4怎么办？这实际上表明，半整数只能成为群，而无法成为环。它只有加法一个结构，而这个结构和整数的加法结构是一样的。更一般地，{0/
n
,1/
n
,2/
n
,…,-1/
n
,-2/
n
}也有一个和整数相同的加法结构。2并无特殊性。
在前文中半整数的1既可以看文字，与整数中1对应，又可以看内涵与整数2对应。这种既相同又不同的性质， 同构和不同构，同一性和差异性蕴含着深厚的哲学思想。研究代数结构是否同构，共有多少种互不同构的代数结构，一直都是代数学的核心任务。
