在许多范畴中，态射集合 Mor(A,B) 不仅仅是 集合 ，实际上是 交换群 ，态射的复合具有群结构，也就是说是双线性的。这种范畴被称为预加性范畴。如果这种范畴还具有所有有限的 积 和 余积 ，则称为 加性范畴 。如果所有具有一个 核 和一个余核，那么所有 满射 都是余核，所有 单射 都是核，我们称此为 阿贝尔范畴 。阿贝尔范畴的一个典型的例子是交换群所组成的范畴。

1.一个范畴被称为是完备的，如果所有 极限 存在。集合，交换群和拓扑空间的范畴是完备的。

2.一个范畴被称为是 笛卡儿 闭性的，如果它具有有限直积，并且一个定义在有限乘积上的态射总是可以表示成定义在其中一个因子上的态射。

3.一个拓扑斯是一种特殊的 笛卡儿闭范畴 ，在其中可表述（公理化）所有的数学结构（就象传统上使用集合论可以表示所有数学结构）。一个拓扑斯也可以用来表述一个逻辑理论。

4.一个 广群 是这样一种范畴，其中每一个态射都是一个同构。广群是群、群作用和等价关系的推广。