微积分的“思路”与“方法”的新认知

微积分的“思路”与“方法”的新理解

在“微积分”学说中，‘无限细分’就是微分；微分至小，为极限；就是“无穷小量”。‘无限求和’就是积分；积分是无限多的数项，相加之总和；或“无穷小量”与“无限大”的数，相乘之积。 无限的至其多的极端，就是“多”的极限。无限细分的极限，是微分其量，为“无穷小量”；无限增大之数的极限，是“无穷大”；这种思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。

微积分模式，是函数式的延展。函数式反映的是“变量与变量”的变量大小的关系。微积分模式，反映的则是变量的变速与加速率的关系，即变量的“变化”快慢的变化。因此，微积分式的导数，也是一个函数；导函数，就是原函数。

导数为零的点，不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性即没有极值点。但导数为零。导数为零的点，称之为驻点如果驻点两侧的导数的符号相反则该点为极值点否则为一般的驻点如y=x³中f‘(0)=0x=0的左右导数符号为正，该点为一般驻点。

函数关系，是局限在“因变量”的大小，因设定(确定)的关系，而随“自变量”的大小变化而变化。

微积分式，则是“自变量”的变化程度(量变)与速度，带动“因变量”变速、变量的关系的极限。因此，涉及到函数的极值，“有”(1+n)与“没有”(0)，(n-n=0)；0×n=0；n÷0=0……等等的关系；涉及到“少与多”(1与1+n，自然数“(1)与“无限多”(∞)的关系)”的关系；同时涉及“微积”程度的极限：“无穷小量”(1/∞；或1/(◎))与“无穷大量”(◎)的“倒数”关系； “即(1/∞)×(∞)=1；或1/(◎)×(◎)=1”；还涉及到整数的起点(0)，与整数的“无限多”(∞)的关系；即“((0)+(∞)=(∞)；(∞)-0=(∞)；((0)×(∞)=0；((0)÷(∞)=0；(∞)÷ 0=0”；……等等关系。

极限求法：1. 对于0·∞、1·∞(0/0、∞/∞)类型，常常化为分数(对分子、分母)进行同乘除处理，然后运用“洛必达”法则； 2. 对于(∞^0)、(0^0)、(1^∞) 类型，常常化成e为底数的形式，对其指数求极限即可； 3. 等价无穷小(如果式子可被视为一项，则可以使用)； 4. 泰勒公式；5. 换元法； 6. 二个重要极限； 7. 对于有理式，且趋向于无穷大的，上下同除去最高项变量，进行可以得到结果。

求极限的方法有很多，其中之一是用洛必达法则求解未定式“00”型与“∞∞”型，洛必达法则定理如果⑴lim(x→x0)(x→∞）f(x)=0（或∞），lim(x→x0)(x→∞）g(x)=0（或∞）；⑵在点x0的某去心邻域内（或|x|>X),f′（x）及g′（x）都存在且g′（x）≠0；⑶lim(x→x0)(x→∞）f′（x)g′（x）存在（或为无穷大），那么有（lxi→mx0)(x→∞）f(x)g(x)=lim(x→x0)(x→∞）f′（x)g′（x)=A(A为有限值或无穷大）。

因此，在这种“微积分”是变量的变速的复变函数的思路下，微积分模式可分为两类，求原函数与求导函数。表达式分别为：

微积分的方法 ：就是微分运算。即对于研究函数的极值、单调性、凸性等有着系统简便的讨论方法；不定积分对于常微分方程求解是一个基本手段；人们通过微元法大量应用定积分的知识处理几何、物理等应用问题。仅仅求导、不定积分、定积分、洛必达法则求极限、费马定理求极值这几个重要的工具，就在近现代科学中起到了支柱作用。

从这个模式，体现了：

1, 微积分是建立在函数上的，并有很多的极限思想。因此，微积分也就成为，理解函数、代数式的重要途径。

1.1, 微积分是函数和极限的结合物 。微积分一开始定义的时候就用到了函数和极限。这个极限是函数相关“变量”的极限；可以为整数0→∞中的某个“设定或确定的”数(n)；其中包含上界与下界在的其它实数；也包含“1”与“无限多”((∞)；也可指定为“无穷小”(θ)，即(1/∞)与“1/(nˇn )”；与“无穷大”(◎)。并不是专指“无穷小”(θ)；而是在指微分的极限(极小值)时，才被认为是“趋近于0，但又不等于0”的“无穷小”的数量。

微积分，分为微分和积分。微分就是求一个函数的导数,所谓函数的导数,其几何意义是这个函数的图象某一点的切线的斜率。 求函数的图象的切线,因为一点不能确定一条直线,所以要用另一个点来辅助，设在曲线上另一个点,但这个点与要求切线的点之间的连线，只是图象的割线。如果把新设的点，沿着函数的图象慢慢向那个点逼近,当无限逼近的时候就得到函数图象的切线。 这就是微分（好像很复杂）。这里,微分是通过一个函数得出另一个函数,而“一个点慢慢向那个点逼近”正是极限的思想。所以,微积分就是函数与极限。

1.2, 积分就是微分的逆过程。把一个函数微分得到另一个函数,称为这个函数的导函数,把导函数积分,就得到原先的函数。如果你深入学习微积分,其实一个函数加上任意一个常数,其导数不变.所以把一个函数积分,得到一个新的函数的时候,应该加上一个常数符号C。

所谓“把图形分割成无穷份,再累加起来”正是微积分里的思想,这被称为“黎曼积分”,又叫“定积分”,通过微积分基本定理,可以把定积分和积分联系起来。

2.运用微积分思路，解决代数中几个不可理解问题。

黎曼积分：导数与微积分导函数； 导函数的概念涉及： 的对于区间（a,b）上任意点处都可导，则 在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为 的导函数，记作f’(x) 。 基本函数的导函数 C'=0(C为常数) (x^n)'=nx^(n-1) 。

如果函数f(X)在闭区间[a,b]上定义，而(P,ζ)是这个闭区间的一个带点分割，则导数与微积分的导函数的概念涉及： 对于区间(P,ζ)上任意点处都可导，则 在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为 f的导函数，记作f’(x) 。 基本函数的导函数 C'=0(C为常数) (x^n)'=nx^(n-1)。

σ(f；p,ζ): = Σ f(ζ i)Δ Xi；叫做函数f在区间[a,b]上对应于带点分割(P,ζ)的积分和，其中Δ Xi = Xi-X(i-1)；　　存在这样一个实数I，如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0，使对区间[a,b]的任何带点分割(P,ζ)，只要分化P的参数λ(P)<δ，就有|I -σ(f；p,ζ)|<ε，则称函数f(X)在闭区间[a,b]上黎曼可积，而I就成为函数f(X)在闭区间[a,b]上的黎曼积分。

我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分，写成积分的形式呢？

定积分与积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：

∫ab (f(x) d x ) = F(a)-F(b)

牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。　　正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。　牛顿-莱布尼茨公式，又称为微积分基本定理，其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。从几何上看，它在切线和面积两个看似很不相关的概念之间建立起了联系。下面就是该公式的证明全过程：　　我们知道，对黎曼(Riemann)可积函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：　　b(上限)∫a（下限）f(x)dx　　现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：　　Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx。　　但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。虽然这种写法是可以的，但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：　　Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt　；　接下来我们就来研究这个函数Φ(x)的性质：　　1.定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ(x)连续。当f(x)连续时，有Φ’(x)=f(x)。　　证明：让函数Φ(x)获得增量Δ x，则对应的函数增量Δ Φ=Φ(x+Δ x)--Φ(x)=x+Δ x(上限)∫a（下限）

f(t) d t-x(上限)∫a（下限）f(t)d t，　　利用区间可加性，x+Δ x(上限)∫a（下限）f(t)d t-x(上限)∫a（下限）f(t)d t=x+Δ x(上限)∫x（下限）f(t)d t　　若m和M分别是f(x)在区间[a,b]上的最小值和最大值，利用定积分第一中值定理，存在[m,M]中的实数η，使得　　Δ Φ=x+Δ x(上限)∫x（下限）f(t)d t=η•Δ x。　　进一步，当f(x)连续时存在x与x+Δx之间的常数ξ，使得η=f(ξ)。　　于是当Δ x趋向于0时，Δ Φ趋向于0，即Φ(x)连续。　　若f(x)连续，那么当Δ x趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim Δ x→0 Δ Φ/Δ x=f(x)，从而得出Φ’(x)=f(x)。　　2. 若f(x)在[a,b]上连续，且F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，那么b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)。　　证明：我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x)+C=F(x)。　　注意到Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F(a)=C，于是有Φ(x)=F(x)-F(a)，当x=b时，Φ(b)=F(b)-F(a)，这就得到了牛顿-莱布尼茨公式。

我们可以从自然对数最早是怎么来的，来说明其有多“自然”。

以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法，即：㏒(ab) = log a + log b。

但是能够这么做的前提是，有一张对数表，能够知道log a和log b是多少，然后求和，能够知道log多少等于这个和。虽然编对数表很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有个大数学家开始编对数表。但他遇到了一个麻烦，就是这个对数表取多少作为底数最合适？10吗？或是2？为了决定这个底数，他做了如下考虑：

1．所有乘数/被乘数都可以化到0…1之内的数乘以一个10的几次方，这个用科学记数法就行了。

2．那么只考虑做一个0…1之间的数的对数表了，那么我们自然用一个0…1之间的数做底数（如果用大于1的数做底数，那么取完对数就是负数，不好看）。

3．这个0…1间的底数不能太小，比如0.1就太小了，这会导致很多数的对数都是零点几；而且“相差很大的两个数的对数值却相差很小”，比如0.1做底数时，两个数相差10倍时，对数值才相差1。换句话说，像0.5和0.55这种相差不大的数，如果用0.1做底数，那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们对数的差别。

4．为了避免这种缺点，底数一定要接近于1，比如0.99就很好，0.9999就更好了。总的来说就是1 -- 1/X ，X越大越好。在选了一个足够大的X（X越大，对数表越精确，但是算出这个对数表就越复杂）后，你就可以算

（1 -- 1/X）1 = P1 ，

（1--1/X）2 = P2 ，

……

那么对数表上就可以写上P1的对数值是1，P2的对数值是2……（以1--1/X作为底数）。而且如果X很大，那么P1,P2,P3……间都靠得很紧，基本可以满足均匀地覆盖了0.1……1之间的区间。

5．最后他再调整了一下，用（1-- 1/X）X作为底，这样P1的对数值就是1/X，P2的对数值就是2/ X，……PX的对数值就是1，这样不至于让一些对数值变得太大，比如若X=10000,有些数的对数值就要到几万，这样调整之后，各个数的对数值基本在0…1之间。两个值之间最小的差为1/X。让对数表更精确，那么X就要更大，数学家算了很多次，1000，1万，十万，最后他发现，X变大时，这个底数（1 -- 1/X）X趋近于一个值。这个值就是1/e，自然对数底的倒数（虽然那个时候还没有给它取名字）。其实如果我们第一步不是把所有值放缩到0.1…1之间，而是放缩到1…10之间，那么同样的讨论，最后的出来的结果就是e了。 这个大数学家就是著名的欧拉(Euler)，自然对数的名字e也就来源于欧拉的姓名。

当然后来数学家对这个数做了无数研究，发现其各种神奇之处，出现在对数表中并非偶然，而是相当自然或必然的。因此就叫它自然对数底了。

由于名称相似，不少人将牛顿-莱布尼茨公式与莱布尼茨公式相混淆，事实上他们是两个完全不同的公式。

牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的一个重要公式，它把不定积分与定积分相联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。其基本形式为

而莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。

二者存在本质上的区别。

如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，

u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±n) = u± v

至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到:

(uv)' = u'v + uv'

(uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''

(uv)''' = u'''v + 3u''v' + 3u'v'' + uv'''

…………

运用数学归纳法可证

(uv)= uv + nuv' +

uv" ++uv ++ uv

上式便称为莱布尼茨公式(Leibniz公式)

特别值得强调的是，掌握数学分析的理论基础和内在逻辑，这是非常系统的、基础的和相当完备统一的处理方式。

微积分与代数学一样，都是严谨建立的，而不是来自于不同方面的知识堆积，充分体现了数学“以概念、因逻辑、求真理、得自在”的风范；而在数学中，演绎性的知识体系常常会掺进去不少归纳得来的重要结论。其次，“微积分”学科，至少比较完整地逐步积累概念、推导性质、证明定理、实施运算、开展应用。

微积分与代数学一样，都是体现“相对关系”中“绝对”因素；绝对关系则是“相对于”其依据的条件而“相对应”的存在。徵积分是研究“运动”(有规律变化)的变化的关系。必然依据原函数的相关“对应条件”和“相关规定”(定义域、值域、连续、可导)。否则，微积分模式将造“错乱”的对应“结论”；或引起“超定义”的谬误。(爱因斯坦在他的“相对论”中，在光速公式变换时，就对“原函数”的对应关系与定义域，出现错乱，引起结论的“失误”。

微积分学与代数学一样，都是研究“数与量”，“数与形”相结合的“实数关系”的学科。微积分的思路，冲击了原有的“集合构造论”的现有的公理，必然对“仅依无理数来构造实数公理”进行“纠偏”。纠正为“依有理数的“架构”，来构造实数，从而整理出“实数公理”。这既符合“数学认知”的历史脉络，也符合将“实数的两部分”同构的逻辑：“有理数”与“无理数”置于“同一构造”系统的“同构模型”。

“依有理数的“架构”，来构造实数”，实际上是“有理小数”的模式来构造搭建框架，用微积分方式，来构建“实数不同级别“单位量”之间的关系。再在此基上，用欧拉定理(余数定理的引伸)作补充，用来欧拉公式来补充构造“无理数”的特殊性。

“依有理数的“架构”，来构造实数”，其依据是实数分类标准，是不类型的元素“单位量”。例如，自然数的“单位量”为“1”；负整数的“单位量”为“负1”(—1〕；分数的“单位量”为“几分之一”(1/n)；小数的单位量为“十分之一”(1/10)、“百分之一”(1/100)，……“十的多次方分之一”(1/10ˇn)； 0是“没有单位量”也“没有数”的数字符号。

实数分类就是按各类数集合的元素“单位量”的不同，来分类、划分的。而且小数的“不同数位上”的“单位量”也是“十进位制”；这与自然数的“数位”的“单位量”，实行“十进位制”；是完全“同构的”。“分数”是完全可以“转化为”小数的类别；无理数也只是“有无限数位的”小数。而“小数”的单位量，小到极限；就是“无穷小量”。

这样，实数的构造就完全可以在“同构”的基础上，规范地完整地构造出来。实数公理就可在“依不同单位量”集合的不同的数类中，体现出来。实数的各类“数集”，都具有各自的“连惯性、顺序性、稠密性、无空隙性、可数性、可运算性，及可变换单位量”等性质。